Fragw zur Aufgabe - Mathe SOS?
Ich verstehe garnicht was genau ich ausrechnen muss also welchen winkel zwischen welchen Seiten? Und wie rechnet man die Winkel überhaupt aus? Aufgabe 23
5 Antworten
Hallo dangofan6655
Jetzt lösen wir die Aufgabe 23. Sie ist gar nicht so schwer, sondern nur etwas umfangreich.
Zuerst zeichne dir bitte den Quader aus dem Buch groß auf ein Blatt kariertes Papier ab. Nimm für a, wie angegeben 8,5cm, für c (senkrecht nach oben) 4,2cm und für b (schräg nach hinten) 4,2cm, eventuell etwas perspektivisch verkürzt.
Dann schreibst du an die Ecken, wie beim Würfel aus Aufgabe 22, folgende Buchstaben: Unten vorn links: A; unten vorn rechts: B; unten hinten rechts: C; unten hinten links: D; oben vorn links: E; oben vorn rechts: F; oben hinten rechts; G; oben hinten links: H. Dazu schreibst du bitte noch an alle Kanten die richtige Bezeichnung, also z.B. a an die Kanten AB, DC, Ef und HG usw.
Dann zeichne noch folgende Flächendiagonalen ein und beschrifte sie:
f von A nach C und von E nach G. (f wäre auch von B nach D und von F nach H vorhanden, diese brauchen wir aber nicht für die Rechnung).
g von A nach H und von B nach G.
h von A nach F und von D nach G.
Außerdem zeichne noch die Raumdiagonale d gemäß Zeichnung im Buch von A nach G ein.
Bevor wir die Fragen a) bis d) beantworten, berechnen wir noch f,g,h und d mithilfe des "Pythagoras", (dabei steht W für Wurzel aus), die wir später für die Aufgaben a) bis d) brauchen.:
f = W(a²+b²) = W(72,25cm²+17,64cm²) = W(89,89cm²) = 9,481cm. Siehe rechtwinkliges Dreieck ABC!
g = W(b"+c²) = 7,242cm. Siehe rechtwinkliges Dreieck ADH!
h = W(c²+a²) = 10,173cm. Siehe rechtwinkliges Dreieck ABF!
d = W(c²+f²) = W(c²+a²+b²) = 11,167cm.
Jetzt geht es los:
a) Wie groß sind die Winkel zwischen den Flächendiagonalen und den Kanten?
a1) Flächendiagonale f:
Winkel alpha1 = Winkel BAC zwischen f=AC und a=AB, ersichtlich aus rechtwinkligem Dreieck ABC:
b/a = tan(alpha1); ---> alpha1 = arctan(b/a) = arctan0,49412 = 26,294°.
(arctan ist auf dem Taschenrechner die Taste tan hoch -1)
Winkel beta1 = Winkel CAD zwischen f= AC und b=AD, ersichtlich aus rechtwinkligem Dreuieck ADC:
a/b = tan(beta1), ---> beta1 = arctan(a/b) = 63,705°. (= 90° - alpha1)
Winkel gamma1 = Winkel CAE zwischen f=AC und c=AE, ersichtlich aus dem rechtwinkligen Dreieck EAC: gamma1 = 90 (rechter Winkel).
a2) Flächendiagonale g:
Winkel alpha2 = Winkel DAH zwischen g=AH und b=AD, siehe Dreieck ADH:
c/b = tan(alpha2); ---> alpha2 = arctan(c/b) = 54,554°.
Winkel beta2 = Winkel EAH zwischen g= AH und c=AE; siehe Dreieck AEH:
b/c = tan(beta2); ---> beta2 = arctan(b/c) = 35,445° (= 90° - alpha2)
Winkel gamma2 = Winkel HAB zwischen g=AH und a=AB =90°
a3) Flächendiagonale h:
Winkel alpha3 = Winkel FAB zwischen h=AF und a=AB, siehe Dreieck ABF:
c/a = tan(alpha3); ---> alpha3 = arctan(c/a) =34,765°.
Winkel beta3 = Winkel FAE zwischen h=AF und c=AE, siehe Dreieck AEF:
a/c = tan(beta3); ---> beta3 = arctan(a/c) = 55,234° (= 90° - alpha3)
Winkel gamma3 = Winkel FAD zwischen h=FA und b=AD = 90°.
b) Wie groß sind die Winkel zwischen einer Raumdiagonalen und den Kanten?
b1) Kante a: Siehe rechtwinkliges Dreieck GBA! Den Winkel delta1 = Winkel BAG zwischen Raumdiagonale d=AG und Kante a=AB erhält man aus:
tan(delta1) = GB/BA = g/a; ---> delta1 = arctan(g/a) = 40,431°.
Kante b: Siehe rechtwinkliges Dreieck ADG! Den Winkel delta2 = Winkel GAD zwischen d=AG und Kante b=AD erhält man aus
tan(delta2) = GD/AD = h/b; ---> delta2 = arctan(h/b) = 67,566°.
Kante c: Siehe rechtwinkliges Dreieck AEG! Den Winkel delta3 = Winkel GAE = Winkel zwischen d=AG und c=AE erhält man aus
tan(delta3) = GE/EA = f/c; ---> delta3 = arctan(f/c) = 58,106°
c) Wie groß sind die Winkel zwischen einer Raumdiagonalen und den Flächendiagoalen?
c1) Flächendiagonale f: Siehe rechtwinkliges Dreieck GCA! Winkel epsilon1 = Winkel GAC zwischen d=AG und f=AG = arctan(c/f) = 31,894°.
c2) Flächendiagonale g: Siehe rechtwinkliges Dreieck AHG! Winkel epsilon2 = Winkel GAH zwischen d=AG und g=AH = arctan(a/g) = 49,569°.
c3) Flächendiagonale h: Siehe rechtwinkliges Dreieck AFG! Winkel epsilon3 = Winkel FAG zwischen d=AG und h=AF = arctan(b/h) = 22,434°.
d) Wie groß sind die Winkel zwischen zwei Raumdiagonalen?
Hierzu zeichnen wir in den Quader noch eine Raumdiagonale e=BH ein. Die Länge von e=BH ist gleich der Länge von d=AG.
Der Schnittpunkt zwischen d und e wird mit M bezeichnet. Damit erhält man ein gleichschenkliges Dreieck AMH mit der Basis g=AH und den beiden Schenkeln MA=d/2 und MH=d/2.
Im Dreieck MAH ist der Winkel MAH = Winkel GAH bekannt. Er ist nämlich epsilon2 = 49,569° (siehe c2). Da das Dreieck AMH gleichschenklig ist, ist auch der Winkel MHa gleich 49,569°.
Damit ist der verbleibende Winkel AMH, also der Winkel zwischen d und e gleich 180° - 2*49,569° = 80,862°. Der Gegenwinkel GMB hat die gleiche Größe.
Die Komplimentärwinkel AMB und HMG haben die Größe 180° - 80,862° = 99,138°.
Damit sind alle Fragen von Aufgabe 23 beantwortet. Ich hoffe, dass ich mich nicht allzuoft verrechnet habe. Versuche, sie zu verstehen und nachzurechnen..Zur Erinnerung noch: Tangens (tan) ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete eines Winkels. Wenn beide bekannt sind, kann man daraus den Winkel berechnen, was in der Aufgabe laufend gemacht wurde. Viel Erfolg beim "Durchackern"! Wichtig ist nicht so sehr die Rechenarbeit mit dem Taschenrechner, sondern das Erfassen der passenden rechtwinkligen Dreiecke, die da irgendwie schief im Quader aufgespannt sind und die man sich bedarfsweise auch herauszeichnen kann.
Mit besten Grüßen HEWKLDOe.
Danke für das schmeichelhafte Lob. Aber, ich mache das nicht ganz ohne Egoismus. Ich will nämlich verhindern, dass meine grauen Zellen im Alter einschlafen, und solche Aufgaben, die etwas Konzentration erfordern, sind für das Wachhalten gut geeignet.
Gib nicht auf! Ein weiser Mensch soll einmal gesagt haben: "Erfolg beruht zu 10% auf Inspiration und zu 90% auf Transpiration." Das soll wohl heißen: Zum Erfolg trägt mit 10% der Witz (das Wissen) bei und zu 90% der "Schwitz" (der Fleiß, die Anstrengung). Und eines ist auch sicher: Durch das mehrfache Üben wird man langsam mit den Zusammenhängen vertraut und erkennt dann mehr und mehr intuitiv, wie man an solche Aufgaben herangeht.
Mit den besten Grüßen HEWKLDOe.
Wie du wie man die Flächen- sowie Raumdiagonale ausrechnet?
2 x Pythagoras
Oder
Für die Raumdiagonale Wurzel(a^2+b^2+c^2)= r
f = a^ + b^2
r = f^2 + Kathete, dann Trigonometrie.
Wurzel ziehen nicht vergessen
Hallo dangofan6655
Ich mache mich morgen an diese Aufgabe, weil es jetzt schon so spät ist.
Gruß HEWKLDOe.
Vielen vielen vielen Dank!! Ich wünsche ihnen noch eine schöne Nacht, bis morgen!
Du bist IMMER NOCH an Aufgabe 22?? Und wie konntest du gestern noch nicht sicher sein, wie man die Skizze malt, wenn die Skizze sogar im Buch abgedruckt ist?!
Mach mich nicht so fertig. Ja ich bin schlecht in Mathe, danke
Vielen Dank für so eine umfangreiche Antwort! Nachdem sie es mir vorgemacht haben, ergibt alles Sinn, wieso schaffe ich es dann nicht alleine? :D Sie erklären es besser als mein Mathelehrer :D Das, wofür mein Mathelehrer 3 Wochen zum Erklären braucht, schaffen sie in einem Text. Echt Respekt, dass sie so Mathebegabt sind! Ich Danke Ihnen! Sie sind echt meine Rettung!!
LG :)