Exponentielles Wachstum?

Auf einer unbewohnten Insel wurden zu Beginn des Jahres 2012 sechs Kaninchen ausgesetzt.

Nach 42 Monaten zählte man bereits 77 Kaninchen und man geht davon aus, dass sich die Kanin-chenpopulation annähernd exponentiell entwickelt.

1. Beschreiben Sie die Entwicklung der Kaninchenpopulation in Abhängigkeit von der Zeit (in Jahren) durch eine Exponentialfunktion. Skizzieren Sie den Graphen für das Intervall [0; 5].
2. Wie viele Tiere werden am 1.1.2016, am 1.7.2018 bzw. am 1.10.2022 erwartet?
3. Ab einer Anzahl von ca. 12000 Kaninchen sollen diese durch Abschuss reduziert werden.

Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem mit einem ersten Abschuss zu rechnen ist.

d) Erläutern Sie, welche Modellannahmen in den vorigen Aufgaben gemacht werden müssen.

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kann mir jemand vielleicht helfen?

Answer 1

[indiachinacook]

Wenn wir exponentielles Wachstum annehmen, dann erwarten wir, daß die Anzahl der Kaninchen zu einem Zeitpunkt t gleich ist N(t) = N₀ ⋅ eᵏ⁽ᵗ¯ᵗ⁰⁾ = N₀ ⋅ exp(k⋅(t−t₀)), wobei t₀ der Zeitpunkt ist, an dem die Zahl der Kaninchen N₀ betrug.

Dreieinhalb Jahre nach Beginn des hoppelnden Elends haben wir lt. Angabe 77 Kanin­chen. Also setzen wir an N=77=N₀exp(kΔt)=6exp(3.5k) und lösen nach k auf:

k = ln(77⁄6)/3.5 = 0.729

und damit haben wir die Kurve:

Bei t=2015.5 (also 42 Monate nach dem Beginn) haben wir wie erwartet 77 Kanin­chen, und dann kanickeln die Biester munter weiter:

Du siehst hier auch deutlich, warum exponentielles Wachstum so teuflisch ist:

• Anfang 2012 haben wir 6 Kaninchen
• Nach vier Jahren, Anfang 2016, sind gerade mal hundert dazugekommen, wir ste­hen bei 111 Stück.
• Am 1.7.2018, also nach 6½ Jahren, sind es 686
• Noch einmal 4½ Jahre später, am 1.10.2022, sind es aber bereits über 15000 von dem nagenden Ungeziefer.
• Menschen neigen dazu, exponentielles Wachstum zu unterschätzen. „Wenn in den letzten 2 Jahren nichts passiert ist, dann wird ja auch in den nächsten zwei Jahren nicht viel passieren, oder?“ Leider geht dieser Gedankengang vollkommen in die Unterhose.
• Denn die Verdoppelungszeit τ=ln(2)/k beträgt 11 Monate und 12 Tage, also knapp ein Jahr. Eine Verdoppelung von 10 auf 20 kratzt keinen, aber eine von 10000 auf 20000 ist katastrophal. Beide brauchen aber gleich viel bzw. wenig Zeit.

Stellt sich nur noch die Frage, wann wir die Schwelle von Nₘₐₓ=12000 Kaninchen er­reichen. Das setzen wir einfach an und lösen nach Δt auf:

Nₘₐₓ = N₀ exp(kΔt) ⟹ Δt= ln(Nₘₐₓ/N₀)/ k = 10.42 Jahre

Der Schwellenwert wird also knapp vor Jahresmitte 2022 erreicht, ungefähr am 4. Juni.