Ermittle die Anzahl aller Dreiecke, die aus dem Eckpunkten ein und dasselben regelmäßigen 17- ecks gebildet werden können?
Ermittle die Anzahl aller dreiecke, die aus dem Eckpunkten ein und dasselben regelmäßigen 17- ecks gebildet werden können.
2 Antworten
Je drei Eckpunkte beschreiben eindeutig ein Dreieck. Wie viele Möglichkeiten gibt es 3 Punkte aus 17 Punkten auszuwählen?
Naja, je 3 Punkte beschreiben eindeutig ein Dreieck. (Dabei sollten die drei Punkte jedoch nicht auf einer Geraden liegen. Was hier jedoch als Eckpunkte eines regelmäßigen Vielecks kein Problem ist.)
Insgesamt stehen 17 Punkte zur Verfügung.
Man möchte also im Grunde wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt 3 Punkte aus 17 zur Verfügung stehenden Punkten auszuwählen, wofür man mit ein wenig kombinatorischem Grundwissen sofort den Binomialkoeffizienten binomial(17, 3), also „3 aus 17“ bzw. „17 über 3“, für die Anzahl entsprechender Kombinationen angeben kann.
https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Der_Binomialkoeffizient_in_der_Kombinatorik
https://de.wikipedia.org/wiki/Kombination_(Kombinatorik)#Kombination_ohne_Wiederholung
Dementsprechend habe ich dann den Binomialkoeffizienten binomial(17, 3) berechnet, was 680 geliefert hat.
aufmalen und abzählen, zackzack!
Hmm. Ob man sich da nicht leicht verzählt? Das sind nämlich doch so einige Dreiecke, die da gebildet werden können.
Das sieht dann bestimmt wie ein Spirograph-Bild mit Ecken aus.
Wird bestimmt schön.
Ich habe mir hier mal den Spaß erlaubt, mal wirklich die Dreiecke abzuzählen:
https://imgur.com/xM7lssc
Nein, nicht unbedingt. Es können unter Umständen auch weniger sein. Denn es könnte dann der Fall auftreten, dass nich jede Auswahl von 3 Punkten ein Dreieck bestimmt. Wenn die 3 ausgewählten Punkte auf einer Geraden liegen, so spannen diese kein Dreieck auf.
Betrachte das folgende Beispiel (nur mit 4 Punkten, um es übersichtlicher zu halten):
https://i.imgur.com/Oi0Sx2K.png
Die drei Punkte A, B, C spannen in diesem Beispiel kein Dreieck auf.
Bei der genannten Aufgabe tritt sowas jedoch nicht auf, da bei regelmäßigen Vielecken keine 3 (oder mehr) Eckpunkte auf einer Geraden liegen.
Wie bist du darauf gekommen?