Endnullen Fakultät?
Hallo!
Ich bräuchte für einen kleines Projekt, die Möglichkeit Endnullen von einer Fakultät abzuzählen. Mir ist aufgefallen das für jede Potzen von "5" eine Endnull dazukommt. (auch bei 25)
Warum? Wie heißt das Problem? Kann man das Beweisen?
3 Antworten
Beweis dafür, daß die von mir weiter unten vorgeführte Regel korrekt ist:
Um genau eine zusätzliche Endnull hinzuzufügen muß man die bisherige Zahl mit 10 multiplizieren.
Die 10 hat die Primafktorzerlegung 10 = 2*5.
Zerlegt man nun jeden Faktor der Fakultät in Primfaktoren, so ist folgendes zu erkennen:
a.) Der Primfaktor 5 kommt nur bei den vielfachen von 5 vor.
b.) Der Primfaktor 2 kommt stets öfter vor als der Primfaktor 5.
Aus a.) und b.) folgt daß bei jedem Faktor der Fakultät, dier ein vielfaches von 5 ist mindestens eine 0 dazukommt weil wir zu jeder 5 auch eine 2 finden.
c.) Die Primfaktoren 5*5 kommen nur bei den vielfachen von 25 vor.
d.) Die Primfaktoren 5*5*5 kommen nur bei den vielfachen von 125 vor.
e.) ....
Wenn wir nun unsere Regel anwenden streichen wir bei der
1. Teilung durch 5 alle 5en aus a, bei der
2. Teilung durch 5 alle 5en aus c, bei der
3. Teilung durch 5 alle 5en aus d, usw.
Du mußt den Beweis natürlich auch formal korrekt durchführen. Ich zeige hier nur wie er vom Prinzip her funktioniert.
Hilfreichste Antwort inc. Kann ich dir noch mehr danken? :P
Hier die Primfaktorzerlegung bis 25 zur Veranschaulichung (die relevanten Primfaktoren sind unterstrichen):
1 :{1}
2 :{2}
3 :{3}
4 :{2 * 2}
5 :{5}
6 :{2 * 3}
7 :{7}
8 :{2 * 2 * 2}
9 :{3 * 3}
10 :{2 * 5}
11 :{11 }
12 :{2 * 2 * 3}
13 :{13}
14 :{2 * 7}
15 :{3 * 5}
16 :{2 * 2 * 2 * 2}
17 :{17 }
18 :{2 * 3 * 3}
19 :{19 }
20 :{2 * 2 * 5}
21 :{3 * 7}
22 :{2 * 11}
23 :{23 }
24 :{2 * 2 * 2 * 3}
25 :{5 * 5}
Man erhält die Anzahl der Nullen inden man die Zahl vor dem !-Zeichen solange durch 5 (ohne Rest) teilt bis der Quotient <5 ist und jeweils die erhaltenen Quotienten addiert.
Bsp. 25!:
25/5 = 5 Rest 0
5/5 = 1 Rest 0
Anzahl Endnullen = 5+1 = 6
Da es hier eine Regel gibt, sollte der Beweis nicht schwer sein.
P.S: Wir finden zu jedem Primfaktor 5 midestens 2 Primfaktoren 2, so daß für die 25, 125, ... auch genügend 2en übrig bleiben.