Ebenengleichung mit gegebenem Abstand zu anderer Ebene?

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Hallo,

wenn beide Ebenen parallel sind, haben ihre Koordinatenformen die gleichen Faktoren vor x1, x2 und x3. Unterschiedlich ist lediglich die Zahl ohne x.

Wenn Ebene 1 also 2x1-x2+x3=1 lautet, ist eine beliebige parallele Ebene durch 2x1-x2+x3=d definiert.

Du suchst zunächst die Ebene, die durch den gegebenen Punkt geht. Dafür setzt Du einfach die Koordinaten des Punktes für x1, x2 und x3 ein:

2*5-1*(-1)+2*1=13

2x1-x2+x3=13 ist also parallel zu der gegebenen Ebene und geht durch den Punkt (5|-1|2).

Der Normalenvektor für beide Ebenen ist natürlich der gleiche; da sie parallel sind, ist auch derselbe Vektor senkrecht zu ihnen.

n=(2/-1/1), |n|=√6

Wenn Du nun die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen durch den Betrag des Normalenvektors teilst, bekommst Du den Abstand der jeweiligen Ebene vom Ursprung heraus.

Ebene 1: 1/√6=0,4082

Ebene 2: 13/√6=5,3072

Somit haben beide Ebenen einen Abstand von 5,3072-0,4082=4,899 Einheiten.

Eine parallele Ebene 3 muß einen doppelt so großen Abstand von Ebene 1 haben wie Ebene 2, also 9,798, was 24/√6 entspricht.

24=25-1, somit muß d von Ebene 3, der gesuchten Ebene, gleich 25 sein:

E3: 2x1-x2+x3=25

Herzliche Grüße,

Willy

Alles klar, jetzt macht das Sinn. Danke für die Hilfe!

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