Der Graph von f(x)= xhoch2 -2x -2 soll in den Graphen von g(x)= xhoch2 +5x+1,75 überführt werden . Welche Verschiebungen sind erforderlich ?

Hallo Gradacac74

Die Verschiebung kann erstens in x-Richtung erfolgen. Wenn ich den Graphen um a nach rechts verschieben will, muss ich zu x den Wert -a addieren.
Wenn der Graph um den Wert b in y-Richtung verschoben werden soll, muss ich zu y den Wert -b addieren.

Der Graph f(x) = y = x² - 2x - 2 soll so verschoben werden, das daraus der Graph g(x) = y = x² + 5x + 1,75 entsteht. Daher setze ich in den ersten Graphen für x den Wert x-a und für y den Wert y-b ein und erhalte:
y-b = (x-a)² - 2(x-a) -2   und umgeformt:  y = (x-a)² - 2(x-a) - 2 + b.

Dieser Graph soll identisch mit dem Graphen g(x) werden, er soll ihm also gleich sein:
y = (x-a)² - 2(x-a) - 2 + b = y = x² + 5x + 1,75;      I ausmultiplizieren
 x² -2ax + a² -2x + 2a - 2 + b = x² + 5x + 1,75;      I zusammenfassen
  (-2a - 2)x + (a² +2a - 2 + b) = 5x + 1,75:

Wenn beide Seiten der Gleichung gleich sein sollen, dann muss gelten:

(1)   -2a - 2 = 5;   ---> -2a = 7;   ---> a = -(7/2) = - 3,5;
(2)   a² + 2a - 2 + b = 1,75;  ---> b = 3,75 - a² - 2a = 3,75 - 12,25 + 7 = -1,5;

Man muss also den Graphen f(x) um den Wert 3,5 nach links und um den Wert 1,5 nach unten verschieben, damit er mit dem Graphen g(x) zusammenfällt.

Probe: (x+3,5)² - 2(x+3,5) - 2 -1,5 = x² + 7x + 12,25 - 2x  -7 - 3,5 =
                                                       = x² + 5x + 1,75

Es grüßt HEWKLDOe.

Hallo Gradacac74

Mir ist zur Lösung der Aufgabe noch eine "elegantere" Lösung eingefallen:

Man bringt zunächst mithilfe der quadratischen Ergänzung die beiden Funktionsgleichungen f(x) u. g(x) auf ihre Scheitelpunktform y = (x-xs)² + ys:
f(x)  = x² - 2x - 2          = x² - 2x +1 -1 -2                        = (x-1)² - 3;
g(x) = x² + 5x + 1,75   = x² + 5x + 2,5² - 2,5² + 1,75      = (x+2,5)² - 4,5;

Nun kann man die Scheitelpunkte Sf (1I-3) und Sg (-2,5I-4,5) direkt aus den Funktionsgleichungen ablesen und sieht, dass man vom Scheitelpunkt Sf den x-Wert um -3,5 ändern muss, um zum x-Wert von Sg zu kommen, d.h. der Graph f(x) muss um 3,5 nach links (in negative x-Richtung) verschoben werden.
Analog muss man den y-Wert von Sf um -1,5 ändern, um zum y-Wert von Sg zu kommen. Der Graph f(x) muss also auch um 1,5 nach unten (in negative y-Richtung) verschoben werden.

Es grüßt HEWKLDOe.

Jeweils scheitelpunktform herstellen. An den beiden Scheitelpunkten Verschiebung ablesen.

Du musst halt

7x + 3.75

addieren.