Bestimme die Ortskurve der Minima der Funktionenschar fk(x) =x3−1kx2−1k2xmit Parameterk >0.?
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Das unhandliche 1/k wird durch q ersetzt. Das ändert nichts an der Lösung, denn k > 0.
fq(x) = x^3 - q*x^2 - q^2*x
fq'(x) = 3x^2 - 2q*x - q^2
fq''(x) = 6x - 2q
Aufgrund der Bedingungen für Minima
3x^2 - 2q*x - q^2 = 0 und 6x - 2q > 0
gibt es für q zwei Lösungen
q1 = -3x für x > 0
q2 = x für x > 0
Wegen q > 0 bleibt nur Lösung q2
q2 eingesetzt in fq(x)
x^3 - x*x^2 - x^2*x = -x^3
Somit lautet die Funktionenschar
s(x) = -x^3