Axiombeweis?
„durch jeden Punkt einer Ebene gehen mind. Zwei verschiedene geraden“
diesen Satz soll ich anhand der Axiomen beweisen(siehe Bild)
muss ich hier eine fallunterscheidung machen? Verstehe ich leider nicht. Hab meine ersten Ideen auch unten in Anhang
ich bin über jede Hilfe dankbar!
1 Antwort
Ganz einfacher logischer Beweis: Eine Ebene setzt die Existenz von mindestens drei paarweise verschiedenen Punkten voraus. Da eine Gerade durch zwei verschieden Punkte eindeutig bestimmt ist, kannst du zu jedem der drei Punkte mindestens 2 Geraden bilden, die diesen enthalten, aber verschieden sind.
Das widerspricht zwar nichts, aber es wurde ja in der Aufgabe angenommen. Quasi: "Wenn es eine Ebene gibt, dann gehen durch jeden Punkt dieser Ebene mindestens zwei Geraden". Da muss man die Existenz der Ebene nicht beweisen.
Fast, in der Aufgabe wird es noch nicht angenommen, das müsste man dann schon tun. Im Prinzip müsste ich das also im Beweis unterscheiden: Angenommen, es gibt keine Ebene, dann ist die Aussage sowieso wahr ("aus der leeren Menge folgt alles"). Angenommen, es gibt eine Ebene, dann ... usw.
Aber woraus leitest du die Existenz einer Ebene ab?
Ich könnte z. b. folgende Geometrie konstruieren:
Menge der Punkte: {A, B, C, D}
Menge der Geraden : {{A, B, C, D}}
Menge der Ebenen: { }
Ich habe vier Punkte, eine Gerade, keine Ebene.
Ich sehe jetzt noch nicht, wie dies dem Axiomensystem widerspricht. Aber vielleicht bin ich auch gerade zu müde.