Arbeit einer adiabatischen Zustandsänderung?

Um die geleistete Arbeit eines adiabatischen Prozesses zu berechnen wurde uns dieser Rechenweg gegeben:

Dabei verstehe ich nicht wo in der 1. Zeile der Quotient der Volumina mit dem Adiabatenkoeffizienten als Exponent im Integral herkommt. Die Definition der Arbeit ist ja eigentlich nur das Integral -∫pdV

Answer 1

[DrNumerus]

Das Problem bei einem einfachen integral, ist, dass du über das Volumen integrierst, aber du erstmal nicht weißt, wie der Druck von dem Volumen abhängt. Deswegen nutzt du eine der Adiabatengleichungen:

$p_e=p_a\cdot\left(\frac{V_a}{V_e}\right)^{\gamma}$

Dein Integral ergibt dann:

$W=-\int_{V_a}^{V_e}\ p_e\left(V_e\right)\ \text{d}V_e=-\int_{V_a}^{V_e}\ p_a\cdot\left(\frac{V_a}{V}\right)^{\gamma}\ \text{d}V$

Demnach drückst du also dein "aktuelles" p während dem Integrieren einfach über das "aktuelle" Volumen aus. Da du den Anfangswert von sowohl Volumen als auch Druck (wahrscheinlich) kennst, ist das dann kein Problem.