Ändern sich die Eigenräume bei einer Diagonalisierung?

Ne, außer du meinst nur die Diagonalmatrix. Hier sind die Eigenräume dann nur noch Räume die von den (kanonischen) Einheitsvektoren aufgespannt werden.

Aber bei einer Diagonalisierung handelt es sich ja um ein Matrizenprodukt, die eine Diagonalmatrix enthält, aber im gesamten die selbe Abbildung darstellt - also nein.