Ableitung sin(ax)?
Die Ableitung von sin(ax) ist doch acos(ax) oder? Und wie berechne ich das eigentlich, also wie kommt man auf acos(ax).
3 Antworten
Hallo,
das wird nach der Kettenregel abgeleitet.
Die Funktion, die an Stelle von x erscheint, hier also ax anstatt x als Argument des Sinus, wird innere Funktion genannt, die andere, hier also sin (x) die äußere.
Du leitest also zunächst sin (x)=cos (x) ab, läßt als Argument aber ax stehen, also
cos (ax).
Das multiplizierst Du nun mit der Ableitung der inneren Funktion, also mit der Ableitung von ax=a.
So kommst Du auf f'(x)=a*cos (ax).
Herzliche Grüße,
Willy
Ja, die Ableitung von sin(a*x) bzgl. x ist a*cos(a*x).
Und wie berechne ich das eigentlich, also wie kommt man auf acos(ax).
Na, irgendwie wirst du doch auf a*cos(a*x) gekommen sein, sonst hättest du das doch nicht genannt.
Man sollte bereits wissen, dass die Ableitung der sin-Funktion die cos-Funktion ist. Die durch sin(a*x) gegebene Funktion lässt sich als Verkettung der sin-Funktion mit einer durch a*x gegebenen Funktion sehen. Nach Kettenregel wird zunächst die sin-Funktion abgeleitet und die innere Funktion a*x wieder eingesetzt. Dann muss man die innere Funktion a*x nachdifferenzieren, was einen Faktor a liefert. Man erhält also für die Ableitung cos(a*x)*a. Aufgrund der Kommutativität der Multiplikation kann man den Faktor a auch nach vorne schreiben, so dass man dann a*cos(a*x) hat.
Ich kenne nur den Beweis über die Taylorreihe vom Sinus. Wenn du die ableitest, dann kommt danach die Taylorreihe vom Cosinus raus.
Über den Differentialquotienten sollte das auch gehen.
Weitere Möglichkeit wäre „visuell“. Du schaust dir die Graphen an und erkennst, dass der Sinus immer dann Extremal ist, wenn der Cosinus gleich Null ist. Wenn der Cosinus Extremal ist, so liegt beim Sinus ein Wendepunkt vor.
Den Faktor a erhältst du mit der Kettenregel