Abbildung von Z auf Z surjektiv, aber nicht injektiv?
Nabend,
Ich soll ein Beispiel für eine Funktion finden, die zwar surjektiv aber nicht injektiv ist. Es soll eine Abbildung von den ganzen Zahlen auf den ganzen Zahlen sein. also Z--> Z
kann mir jemand ein Beispiel nennen?
2 Antworten
In der Mathematik und Logik wird geboten „suche stets nach möglichst einfachen (Gegen)beispielen!“ Hier ein minimales Bsp für ℤ:
ƒ(n)=n für n≤0; ƒ(n)=n–1 für n>0.
Dies ist offensichtlich surjektiv und nicht injektiv.
Im Allgemeinen gilt für jede Menge X:
Satz (AC). X ist unendlich ⟺ ∃ƒ:X——>X surj & ¬inj. ⊣
Beweis. (⟹). Sei X unendlich. Dann existiert per Definition (nach Dedekind) eine injektive Funktion g : X → X, die allerdings nicht surjektiv ist. Bezeichne mit g(X) die Menge {g(x) : x∈X}. Da g nicht surjektiv ist, gilt X\g(X) ≠ Ø. Da X unendlich ist, ist insbesondere X≠Ø. Fixiere x₀∈X. Definiere ƒ : X→X durch
ƒ(g(x))=x für alle x ∈ X.
ƒ(y) = x₀ für alle y∈X\g(X).
- Da g injektiv ist, ist ƒ wohldefiniert. Per Konstruktion gilt ƒ(X) ⊆ X und ƒ(X) ⊇ ƒ(g(X)) ⊇ id(X) = X. Also gilt ƒ(X)=X. Das heißt, ƒ ist surjektiv.
- Sei y∈X\g(X) — existiert, da X\g(X)≠Ø, und beachte dass g(x₀)∈g(X), sodass g(x₀)≠y. Es gilt aber ƒ(g(x₀))=x₀=ƒ(y). Darum ist ƒ nicht injektiv.
Also existiert eine Funktion ƒ:X→X surj. & ¬inj.
(⟸). Angenommen, es gebe eine Funktion ƒ : X→X, die surj. & ¬injektiv ist. Da ƒ surjektiv ist, existiert mittels AC ein Inverses nach rechts, das heißt eine Funktion g : X→X mit ƒg = id.
- Es folgt automatisch daraus, dass g injektiv ist: für alle x,x'∈X mit g(x)=g(x') gilt x=id(x)=ƒ(g(x))=ƒ(g(x'))=id(x')=x'.
- Angenommen, g sei surjektiv. Seien y, y'∈X mit ƒ(y)=ƒ(y'). Wegen Surjektivität existieren x, x'∈X mit g(x)=y und g(x')=y'. Dann folgt x=id(x)=ƒ(g(x))=ƒ(y)=ƒ(y')=ƒ(g(x'))=id(x')=x'; also x=x'; also y=g(x)=g(x')=y'. Daraus ergibt sich die Injektivität von ƒ. Widerspruch! Darum ist g nicht surjektiv.
Darum ist g eine Funktion g : X→X, die inj.&¬surj ist. Nach Dedekind bedeutet dies exakt, dass X unendlich ist. QED.
Daher ist die Existenz einer solchen Funktion garantiert für die—in der Tat laut des o. s. Satzes charakterisierend von den—unendlichen Mengen.
Hi Einstein ;-) geht auch eine "abschnittsweise definierte" Funktion?
Z.B.: f(x) = 0 für x=0
f(x) = x-1 für x>0
f(x) = x+1 für x<0
● Nicht injektiv, da f(-1) = f(0) = f(1) = 0
● Surjektiv