Umfang und Flächeninhalt Spirale?

Es geht um die Fibonacci-Folge. Das Bild zeigt die Spirale bis zum 9. Glied der Folge. Hier besitzt die Spirale eine Fläche von ~1468.69 m², die 9 ist damit das erste Glied, für das der Flächeninhalt 4-stellig ist. Die Länge der Spirale beträgt ~138.23 m und ist damit erstmals 3-stellig.

Frage: Bei welchem Glied der Folge ist der Flächeninhalt (grün) der Spirale das zweite Mal 131-stellig und bei welchem Glied der Folge die Länge (rote Linie) der Spirale das zweite Mal 75-stellig?

Answer 1

[Halbrecht]

ich zitiere von hier

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Die Länge der Spirale bis zur n-ten Fibonacci-Zahl f_n ist

Summe i=1 bis n f_i × Pi / 2

= f_(n+2) × Pi / 2

Die Fläche ist dann

Summe i=1 bis n f_i^2 x Pi / 4

= f_n × f_(n+1) × Pi / 4

Nutze nun die explizite Darstellung von f_n über Potenzen des goldenen Schnitts, und nehme davon den 10er-Logarithmus, um n so zu bestimmen, dass sich die geforderte Anzahl Dezimalstellen ergibt.