Aufgabe funktionenschar?
Die funktionenschar lautet: - (x^3 -3ax^2) / 144
Ich soll zeigen dass alle extrema des graphen auf dem graphen der funktion - 1/288 *x^3 liegen.
Klar ich bestimme die extrema sund dann ihre ortskurve
Das problem ist dass ich nicht die extrema berechnen kann. Wie mache ich das? Ich bekomme einmal (0/0) und einmal (-2a/ - 7a^3/72)
3 Antworten
Hallo,
das kannst Du gar nicht nachweisen, weil es falsch ist.
Die Ortskurve der Extrema lautet g(x)=x³/288 und nicht -x³/288.
Für die Extrema bildest Du die Ableitung der Funktion nach x:
(-1/144)*(3x²-6ax) und setzt sie gleich Null.
Das gibt einmal x=0 (alle Sattelpunkte der Funktionenschar für ungerade a liegen bei (0|0), desweiteren Extrema der Funktionen mit geradem a).
Für die zweiten Extremstellen teilst Du 3x²-6ax durch x, bekommst 3x-6a und setzt das gleich Null (die -1/144) davor spielen bei der Nullstellensuche keine Rolle.
3x=6a, also x=2a.
In Abhängigkeit von a liegen diese Extremstellen also da, wo x doppelt so groß wie a ist. Für a=2 etwa bei x=4, für a=-1 bei x=-2 usw.
Diese Werte für x kannst Du dann in die Ortskurve eingeben, um auf die y-Koordinate zu kommen.
Herzliche Grüße,
Willy
Das problem ist dass ich nicht die extrema berechnen kann. Wie mache ich das? Ich bekomme einmal (0/0) und einmal (-2a/ - 7a^3/72)
Doch, das kannst du.
Du hast die beiden x-Werte rausgekriegt:
x1 = 0
x2 = 2a (hier muss dir ein Vorzeichenfehler passiert sein.)
Das setzen wir in die Funktionsgleichung ein, um die Extrempunkte zu bestimmen:
E1:
f(0) = 0
E1(0/0)
das bedeutet, dass dieser Punkt unabhängig von a ist. Daher geht die Ortskurve auf jeden Fall durch den Ursprung.
E2:
f(2a) = 1/144 * (8a^3 - 12a^3) = -4/144 * a^3
E2(2a / -4/144 * a^3)
Um die Ortskurve rauszukriegen, müssen wir das a durch x ersetzen:
aus x = 2a (siehe oben) folgt:
a = x/2
Das setzen wir in f(2a) = -4/144 * a^3 ein:
f(x) = -4/144 * (x/2)^3 = -4/144 * x^3 / 8 = -1/288 * x^3
q.e.d.
Setzt Du für a x/2 ein
Und wo setzt du das ein? Ich setzte das in f(2a) = -4/144 * a^3 ein.
Wo kommt (-1/144) her?
Steht doch in der Gleichung der Funktionenschar: -(x³-3ax²)/144.
Zieh die /144 nach vorn, dann steht da (-1/144)*(x³-3ax²).
Leitest Du das nach x ab, bleibt (-1/144) als konstanter Faktor erhalten und Du bekommst (-1/144)*(3x²-6ax).
Ups, da habe ich wohl tatsächlich das kleine Minus am Anfang übersehen....
Dann würde in der Tat die Ortskurve lauten:
f(x) = x^3 / 288
.... was mir mein Funktionenplotter auch bestätigt.
Und bei E2, Wo hast du 2a eingesetzt? Weil das ist nicht die gleichung von f(x)
Kannst du vielleicht bei meiner letzten frage vorbeischauen? Habe Probleme mit der ableitung einer funktion...
Du setzt die x-Koordinate für x ein, berechnest die y-Koordinate aus der Funktion und vergleichst diese mit der y-Koordinate des Extrempunktes.
Ja aber wie berechne ich überhaupt den extrempunkt?? Stimmt mein Ergebnis?
f(x) = - (x^3 -3ax^2) / 144;
f'(x) = -3/144 * x² + 6a/144 * x;
Dann f'(x) gleich 0 setzen und ausrechnen.
Ob dein Ergebnis stimmt kannst du mittels Einsetzen herausfinden:
f'(0) = 0 + 0 = 0; Passt
F'(-2a) = -3/144 * 4 * a² - 6a/144 * 2 * a = 1/144 * (-12 a² - 12 a²) = 1/144 * (-24 a²); Passt nicht, aber vielleicht habe ich mich auch irgendwo beim Vorzeichen vertan.
Du hast bei der Ortskurve einen Vorzeichenfehler:
Setzt Du für a x/2 ein, bekommst Du (-1/144)*(x³-(3/2)x³)=(-144)*(-(1/2)x³)=(1/288)*x³. Die beiden Minus heben sich auf.