Kurven einer Schar identifizieren?

Bräuchte Hilfe bei der Aufgabe. Bestenfalls Rechenweg mit Erklärung:)

Gegeben ist die Funktionenschar. fa(x)= -x^2 + 4ax + 2a -4a^2

1.In der Abbildung sind drei Kurven u, v und w der Schar f, dargestellt. Entscheiden Sie, welcher Parameterwert a zu welcher Kurve gehört. Begründen Sie.

2.Die Graphen von f1 und f2 und die x-Achse umschließen im 1. Quadranten ein Flächenstück A. Berechnen Sie den Inhalt von A.

Danke im Voraus!

Answer 1

[Rammstein53]

fa'(x) = -2x + 4a

fa'(x) = 0 für x = 2a

fa(x) hat eine Extremstelle bei a = x/2

Daraus folgt:

u(x): a = 2/2 = 1

v(x): a = 4/2 = 2

w(x): a = 6/2 = 3

###

u(x) = -x² + 4x - 2

v(x) = -x² + 8x - 12

###

Nullstellen u:

u1 = 2 - sqrt(2)

u2 = 2 + sqrt(2)

###

Nullstellen v:

v1 = 2

v2 = 6

###

Schnittpunkt u und v :

-s² + 4s - 2 = -s² + 8s - 12

Lösung s = 2.5

###

Stammfunktionen:

U(x) = -1/3 * x³ + 2x² - 2x + C

V(x) = -1/3 * x³ + 4x² - 12x + C

###

Fläche = V(s) - V(v1) + U(u2) - U(s) ~ 1.38562

Comments

[Halbrecht]

warum eigentlich ist hier das Integral der Differenzfkt nicht möglich ?

[Rammstein53]

@Halbrecht

Die Differenzfunktion lautet -4x + 10 und ist eine Gerade, die im Integrations-Intervall am Schnittpunkt s das Vorzeichen wechselt. Integriert man über das gesamte Intervall, wird deshalb das Ergebnis zu klein. Man müsste also den Betrag der Differenzfunktion integrieren. Das ist sicher einfacher zu rechnen, aber man muss dabei mehr nachdenken ...

Answer 2

[Halbrecht]

fa(x)= -x^2 + 4ax + 2a -4a^2

.

bestimme die x-Koordinate des Scheitelpunktes

-1*( x^2 - 4ax ) + 2a -4a^2

sie liegt bei -(-4a)/2 = 2a = xs

der Scheitel von v liegt bei x = 4 , also muss a = 2 sein

fa(x)= -x^2 + 4ax + 2a -4a^2

-x² + 4*2x + 2*2 - 4*4

-x² + 8x + 4 - 16 , passt 

.

Answer 3

[MichaelH77]

du könntest die erste Ableitung ausrechnen und diese null setzen und nach x auflösen. Das ist der x-Wert des Hochpunkts

fa'(x)=-2x+4a
-2x+4a=0 => x=2a

bei u ist der x-Wert des Extrempunkts 2, a ist somit 1
bei v ist a=2

bei 2. die Fläche aufteilen
erst mal den Schnittpunkt der beiden Funktionen ausrechnen
ausserdem die Nullstellen von f1 und f2, von f1 wird die rechte, von f2 die linke Nullstelle benötigt
danach hast du die Intervallgrenzen
erste Teilfläche geht von der Nullstelle bis zur Schnittstelle, die zweite von der Schnittstelle bis zur zweiten Nullstelle. Die begrenzende Funktion ist unterschiedlich

$\int_2^{2.5}f_1\left(x\right)dx+\int_{2.5}^{2+\sqrt{2}}f_2\left(x\right)dx$

Comments

[Halbrecht]

warum eigentlich ist hier das Integral der Differenzfkt nicht möglich ?