Hilfe bei Matheaufgaben zu Funktionsscharen?
Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei folgenden Matheaufgaben:
Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=1/12a x^3-x^2+3ax , a größer 0
A) Untersuchen Sie die Schar auf Extrema und Nullstellen.
B) Der Punkt P(z|f1(z)) bildet mit dem Ursprung und dem Punkt Q(z|0) ein achsenparalleles Dreieck (0 <= z <=6). Bestimmen Sie die Koordinaten von P so, dass das Dreieck maximalen Inhalt hat.
C) Die Tangente durch W(4a | 4/3a^2) schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Für welches A hat das Dreieck den Inhalt von 384?
Lösung:
A) NST: x= 6a x=0
Extrema: HP bei x=2a
TP bei x=6a
B) und C) verstehe ich leider nicht.
Wäre sehr dankbar für eure Hilfe :)
2 Antworten
1/12a x^3-x^2+3ax=(1/12a x^2-x+3a)x
A) die NST x=0 ist offensichtlich, x=6a falsch, für die anderen beiden NST benutze pq-Formel
B) Skizziere das Dreieck, dann findest du als Fläche A=z*f1(z)/2, dann nurnoch das Maximum von A
C) Tangente am Punkt D(d, fa(d)) ist eine Gerade mx+b mit m=f'a(d) (1) und sie muss durch D gehen, also m*d+b=fa(d) (2). Zusätzlich soll die Tangente auch durch W gehen, also m*4a+b=4/3a^2 (3). Mit 1,2,3 hast du drei Gleichungen und 3 Unbekannte (m, b, d). Wenn du das hast, dann wieder aufzeichnen/Schnittpunlte mit Koordinatenachsen bestimmen und dann kannst du A maximieren.
Tipp für C) Wenn du beweisen kannst, dass eine Gerade mx+b mit den Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche A= - 0,5 b^2 /m einschließt, dann kannst du das auch hier am Ende benutzen.
B) f1(z) bedeutet, dass du für a dann 1 einsetzt und fürs x dann z einsetzt;
die Fläche des gesuchten Dreiecks hat die Grundseite z mal die Höhe f1(z)
geteilt durch 2
also hast du:
A = 1/2 • z • (1/2 z³ - z² + 3z) jetzt Klammern lösen, ableiten , =0
usw