Wie funktioniert das?

Gegeben ist eine Funktion f k(x) mit k E R und f k(x) = x^2+kx+k

a) Bestimmen Sie für ein allgemeines k das globale Maximum der Funktion f k

b) Bestimmen Sie den Wert für k, bei dem der Graph der Funktion f k die X-Achse berührt

c) Bestimmen Sie den Wert für k, bei dem der Graph der Funktion f k zwei verschiedene Nullstellen besitzt

d) Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar durch den Punkt P(1|1) verlaufen

Answer 1

[Super427]

a)

schau dir ein bisschen die Funktion an und du siehst das sie keinen Hochpunkt hat.

=> Globels Maximum = lim x->unendlich ( x^2 + kx + k) = unendlich (weil x^2 schneller als kx wächst für jedes k )

b)

Berühren = >berührt x achse aber schneidet sie nicht => da es kein hochpunkt gibt ist also der Tiefpunkt gesucht der bei y = 0 ist. Also ableiten:

f'k(x) = 2x + k

0 = 2x +k

2x = -k

x = -k/2

also alle Tiefpunkte sind bei x= -k/2 und somit bei y = -k^2 / 4 + k (Einfach x in die FUnktion einsetzen und umformen)

nun ist das k gesucht wo y = 0 ist also : -k^2/ 4 + k = 0

=> (Mitternachtsformel) k1 = 0 , k2 =4

c)

Meiner Meinung nach für ganz viele werte ?

d)

stimmt halt nicht (stimmt nur für k= 0)

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Ich denke du hast eine Falsche funktion angegeben oder die Aufgaben sind falsch

Answer 2

[Kalkablagerung]

a) Die Parabel hat für kein k ein globales Maximum, da die Parabel nach oben geöffnet ist und immer weiter in die Unendlichkeit verläuft;

b) Dafür setzen wir die Ableitung gleich 0, da wir ja das Minimum haben wollen (welches wir auf y=0 haben wollen). $f'k\left(x\right)=2x\ +\ k$ $x\ =\ -\frac{k}{2}$ Das kann man jetzt in die originale Funktion einsetzen: $\frac{k^2}{4}-\frac{k^2}{2}+k$ $-\frac{k^2}{4}+k$ $0\ =\ -\frac{1}{4}k^2+k$ PQ-Formel anwenden, also alles mal -4 rechnen und p=-4 und q=0: $k\ =\ 2\ \pm2$ Also k1 = 0; k2 = 4.

c) Für alle negativen Werte und für alle Werte, die größer als 4 sind. Das lässt sich folgendermaßen begründen:

Variante 1: $x\ =\ -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$ Da p immer k ist und q auch immer k ist, kann man jedes p und q durch k ersetzen: $x\ =\ -\frac{k}{2}\pm\sqrt{\frac{k^2}{4}-k}$ Wenn man überlegt, kommt man darauf, dass die Diskriminante (das Zeug unter der Wurzel) nicht 0 sein darf (weil dann gäbe es nur 1 Nullstelle) und nicht negativ sein darf (weil dann gäbe es keine Nullstelle). $0\ <\ \frac{k^2}{4}-k$ $0\ <\ k\left(\frac{k}{4}-1\right)$ Wenn es in der Klammer größer als 0 wird, trifft die Ungleichung zu. Das geschieht für alle Werte, die größer als 4 sind.

Variante 2:

Wenn man die Normalform in die Scheitelpunktform umwandelt (a(x + b)² + c), dann muss c kleiner als 0 werden. $x^2+kx\ +\ k\ =\ \left(x+\frac{k}{2}\right)^2\ +\ \left(k-\left(\frac{k}{2}\right)^2\right)$ Hier hat man für c wieder das identische Szenario wie in Variante 1 beschrieben.

d) Das stimmt nicht; das kann man schon durch alleiniges Einsetzen von zufälligen Werten sehen (beispielsweise k=1; k=2;k=3;etc.).

Aber begründet wäre es folgendermaßen: $1\ =\ 1+2k$ $k\ =\ 0$ Das bedeutet, dass es nur einen Wert für k (nämlich 0) gibt, bei welchem die Parabel durch den Punkt P(1|1) läuft. Es gibt wieder viel mehr Möglichkeiten das zu begründen, aber diese Variante scheint mir am leichtesten zu verstehen zu sein.

Ich hoffe, ich konnte helfen; Bist du dir sicher, dass du die Funktionsgleichung und die Aufgabenstellung richtig geschrieben hast, weil die Aufgaben nicht wirklich wie in der Schule normalerweise gestellte Aufgaben eindeutig sind?

Woher ich das weiß: Hobby

Answer 3

[wop53]

Hallo,

zu a)

Die Funktionsgraphen sind alle nach oben geöffnete Parabeln, die alle ein Minimum, aber kein Maximum besitzen.

Steht vor x² vielleicht ein Minuszeichen?

zu d)

f(1)=1+2k

Die Aussage ist für k≠0 offensichtlich falsch.

Comments

[Steffiii03]

Nein steht da nicht, habe nochmal nachgeschaut. Aber vielen Dank

[wop53]

@Steffiii03

Ich habe gerade gesehen, dass du die Aufgabe schon einmal gepostet hast und ähnliche Antworten bekommen hast.

[Steffiii03]

@wop53

Trotzdem konnte mir geholfen werden🥺 hmmm wie hat das denn funktioniert wenn man ,,nichts erkennt‘‘