Zusammengesetzte Funktionen?
Hallo ich komme bei einer Aufgabe in Mathe gar nicht weiter. Wir haben vor kurzem mit dem Thema zusammengesetzte Funktionen angefangen. Also gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 10x * e^-1/2x. a)Bestimmen Sie die Wendepunkte und welchen Bereichen der Graphen von f linksgekrümmt bzw rechtsgekrümmt ist. Skizzieren sie mithilfe dieser Ergebnisse den Verlauf des Graphen von f.
b)Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Wendepunkt. Bestimmen Sie an welcher Stelle die Wendetangente die x-Achse schneidet.
ist das x auch oben im Exponenten (Hochzahl) ?
Ja
4 Antworten
Zunächst mal zeichnen: f(x) = 10x * e^(-0.5x)
Aufgabe a)
Wendepunkte heißt 2x ableiten. Produktregel anwenden. f('x) = u'*v + u * v'
u = 10x und v = e^-0.5x
u' = 10 und v' = -0,5* e^-0,5x (habe ich von hier, zur Erklärung)
f'(x) = 10*e^(-0,5x)-10x*0,5* e^(-0,5x)
f'(x) = 10*e^(-0,5x)-5x* e^(-0,5x)
Noch mal ableiten:
f''(x) = a'(x) + b'(x)
a(x) = 10*e^(-0,5x) und a'(x) = -5*e^(-0,5x)
b(x) = -5x* e^(-0,5x)
Hier wieder Produktregel
u(x) = -5x und u'(x) = -5
v(x) = e^(-0,5x) und v'(x) = -0,5*e^(-0,5x)
b'(x) = u'*v+u*v' = -5*e^(-0,5x) +(-5x)*(-0,5*e^(-0,5x))
b'(x) = u'*v+u*v' = -5*e^(-0,5x) +2,5x*e^(-0,5x)
Zusammensetzen:
f''(x) = a'(x) + b'(x)
f''(x) = -5*e^(-0,5x) -5*e^(-0,5x) +2,5x*e^(-0,5x))
f''(x) = -10*e^(-0,5x)+2,5x* e^(-0,5x)
Für Wendepunkte nun die Nullstellen finden:
f''(x) = 0 = -10*e^(-0,5x)+2,5x* e^(-0,5x)
10*e^(-0,5x)= 2,5x* e^(-0,5x)
10 = 2,5x
4 = x
Jetzt Krümmung untersuchen.
Eine Linkskrümmung einer Funktion f an der Stelle x0 liegt vor, wenn f″(x0)>0 ist.
Es gab ja nur eine Nullstelle in der zweiten Ableitung. Nun nehme ich eine stelle links davon z.B. bei x = 3 und schaue was rauskommt.
f''(x=3) = -10*e^(-0,5*3)+2,5*3* e^(-0,5*3)
f''(x=3) = e^(-0,5*3) * (-10+2,5*3) = -7,5*e^(-1,5) ist auf jeden Fall < 0 da e^(irgendwas) immer positiv ist.
Also ist an der Stelle f(x=3) der Graph rechtsgekrümmt. Danach kommt die Wendestelle und ab x > 4 ist der Graph f(x) rechtsgekrümmt.
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Wendepunkt.
Wendepunkt war bei x = 4.
Die Tangente hat die Gleichung t(x) = mx + b
Die Steigung m bekommt man durch die Ableitung von f'(4)
f'(4) = 10*e^(-0,5*4)-5*4* e^(-0,5*4)
= 10*e^(-2)-20*e^(-2) = -10*e^(-2) = m
Jetzt noch b bestimmen über den Wendepunkt bei W(4|f(4)), denn da muss die ja durch gehen laut Aufgabe.
f(4) = 10*4 * e^(-2) = 5.41
Jetzt kann die Tangentengleichung bestimmt werden.
t(x) = m*x+b
t(4) = -10*e^(-2) * 4 + b = 5,41
b = 5,41-10*e^(-2) * 4 =10,82
t(x) = -10*e^(-2) *x + 10,82
Bestimmen Sie an welcher Stelle die Wendetangente die x-Achse schneidet.
0= -10*e^(-2) *x + 10,82
0 =-1,35x +10,82
x = 10,82/1,35
x = 8,01
Die x-Achse der Wendetangente wird an der Stelle x = 8 geschnitten.
tja dann machst du die produktregel
u'v + v'u
10•e^(-1/2x) + 10x•(-1/2)•e^(-1/2x)
Was ist für dich denn daran jetzt so anders als bei anderen Funktionen?
Kennst du die Produktregel für das Ableiten? Mehr brauchst du eigentlich. Ein Punkt ist dann ein Wendepunkt, wenn die zweite Ableitung = 0 und die dritte Ableitung nicht gleich 0 ist.
Du musst die Funktion also insgesamt dreimal ableiten, die zweite Ableitung = 0 setzen, um die Nullstellen zu bestimmen, dann schauen, wie an diesen Stellen die dritte Ableitung aussieht.