Ganzrationale Funktionen bestimmen, sodass es sich um den niedrigsten Grad handelt?
Hallo ihr Lieben!
Ich habe ein großes Problem.. ich habe eine Matheaufgabe von der ich garnicht weiß, wo ich anfangen soll bzw. wo ich ansetzen muss und wie ich diese ausrechnen kann. Sitze nun schon seit Stunden an der Aufgabe und bin echt am verzweifeln..
Sie lautet:
Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion möglicht niedrigen Grades, sodass gilt:
- S 0/3 ist Sattelpunkt des Graphen. Im Punkt P 3/0 liegt eine horizontale Tangente vor.
- T 2/4 ist Tiefpunkt und W 0/0 Wendepunkt des Graphen. Die Wendetangente hat die Steigung 1.
- H 0/0 ist Hochpunkt des Graphen. Bei 3 ist eine relative Extremstelle. W 1/11 ist Wendepunkt.
Das wäre die Aufgabe.
Ich bin leider eine absolute Null in Mathe .. also bitte für Dumme erklären. Ich weiß zwar schon, dass ich schauen muss wie viele Bedingungen gestellt werden und so darauf deuten kann, um welchen Grad es sich wohl handelt. Aber wie ich weiter verfahren müsste, um auf eine Funktion zukommen, weiß ich leider nicht..
Danke im Voraus für jegliche Hilfe!
3 Antworten
Wieviele infos braucht man um eine linie zu ziehen? Genau: 2. Entweder 2 Punkte oder 1 Punkt und ne Steigung. Für eine Funktion ersten grades brauchst du also zwei infos.
Das gilt für alle anderen ganzrationalen Funktionen auch. Hast du zb 10 infos, dann ist der Grad eben 9.
Du musst also alle Bedingungen aufzählen. Diese sind zb, wenn der Graph
- durch einen Punkt geht, f(x)=y
- Eine extremstelle hat f'(x)=0
- eine wendestelle hat f''(x)=0
zb steht da S 0/3
dann ist die erste Bedingung f(0) = 3
weiterhin ists ein Sattelpunkt: f'(0)=0, da sattelpunkte die Steigung 0 haben etc
Ich konnte bisher 14 Bedingungen feststellen, also ist der grad 13
Die niedrigste Funktion mit Extrempunkten und Wendepunkten ist die Funktion 3. Grades! Allgemeine Form aufstellen und mit den gegebenen Daten die konkrete Funktion bestimmen uber Funktionssystem
Hallo,
als Beispiel Aufgabe 1:
Du hast einen Sattelpunkt und ein zusätzliches Extremum.
Das geht erst ab einer Funktion vierten Grades.
Du bildest die allgemeine Form der Funktion, der ersten und der zweiten ABleitung:
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d
f''(x)=12ax^2+6bx+2c
Nun baust Du ein, was Du an Informationen hast.
Bei (0|3) gibt es einen Sattelpunkt. Das bedeutet, daß bei 3 die y-Achse geschnitten wird, also gilt: e=3.
Da hier auch die Steigung gleich Null ist (Sattelpunkt), muß d=0 sein, denn d hat den Wert der Steigung an der Stelle, an der die y-Achse geschnitten wird.
Außerdem muß auch die zweite Ableitung bei x=0 Null sein, denn es liegt ein Sattelpunkt vor. Das bedeutet: 2c=0 und damit c=0.
So bleiben nur noch die unbekannten Koeffizienten a und b übrig.
Die Funktion sieht nun so aus:
f(x)=ax^4+bx^3+3
f'(x)=4ax^3+3bx^2
Da wir wissen, daß bei (3|0) ein Extrempunkt liegt, müssen sowohl f(3) als auch f'(3) gleich Null sein, daher:
81a+27b+3=0 und 108a+27b=0
Dieses Gleichungssystem solltest Du lösen können.
Setze einfach 27b=-108a in die erste Gleichung ein:
81a-108a+3=0 und löse sie nach a auf.
Danach dann b bestimmen.
Herzliche Grüße,
Willy
