Gesuchte ganzrationale Funktion dritten Grades?
heyyy,
ich habe die Aufgabe
"Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Wendepunkt W(-2/6), die an der stelle x=-4 ein Maximum hat. Die Steigung der Wendetangente ist gleich -12. "
Ich verstehe die Aufgabe nicht ganz und benötige dringend Hilfe.
Muss die Aufgabe später im Kurs vorrechnen, weshalb ich jeden Schitt gut verstehen sollte und es um meine Semesternote geht.
Ich währe euch Dankbar, wenn ihr mir helfen könntet. <3
2 Antworten
Klamüsern wir deine Aufgabenstellung mal auseinander.
Deine ganzrationale Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form
f(x)=ax³+bx²+cx+d, d.h. im Extremfall müssen wir vier Koeffizienten berechnen.
Aus dem Wendepunkt W(-2|6) und der Wendetangentensteigung -12 ergeben sich direkt 3 Bedingungen. Die offensichtlichste davon ist der Punkt, der zur Funktion gehört, also
f(-2)=6 -> -8a+4b-2c+d=6
Die zweite Bedingung ist die Tatsache, dass ein Wendepunkt vorliegt, deine zweite Ableitung der Form
f''(x)=6ax+2b
Ist an der Stelle -2 genau 0, d.h.
-12a+2b=0
Die dritte Bedingung ist die Wendetangente, die die Steigung -12 hat, die 1. Ableitung an der Wendestelle ist also genau -12, d.h.
f'(-2)=-12 -> 12a-4b+c=-12
Die vierte Bedingung ist dein Maximum an der Stelle -4, diese Bedingung wird eingepflegt über eine Nullstelle der ersten Ableitung an dieser Stelle gemäß
f'(-4)=0 -> 48a-8b+c=0
Nun musst du dieses Gleichungssystem zusammenfassen und mithilfe des Gauß-Algorithmus in die Zeilenstufenform bringen, um deine Koeffizienten a bis d zu ermitteln.
Hoffe, ich konnte weiterhelfen.
Das allgemeine Vorgehen bei solchen Aufgaben ist wie immer: Bedingungen rauslesen, LGS aufstellen, das LGS lösen, fertig. Du suchst eine Funktion dritten Grades, das heißt du brauchst 4 Bedingungen um diese Funktion eindeutig bestimmen zu können. Welches sind die 4 Bedingungen?