Ganzrationale Funktion vierten Grades?
Der Graph hat einen Wendepunkt (0/0) mit der x Achse als Wendetangente. Es gibt noch einen Tiefpunkt (-1/-2).
Leider komme ich nicht auf die Funktionsgleichung!
4 Antworten
Ganzrationale Funktion 4. Grades:
f(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e
f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d
f''(x) = 12ax² + 6bx + 2c
Der Punkt (0|0) liegt auf der Funktion, daraus folgt aus f(0) -> e = 0
Der Punkt (0|0) hat eine waagrechte Tangente, daraus folgt f'(0) -> d = 0
Der Punkt (0|0) hat ist ein Wendepunkt, daher ist f''(0) = 0 -> 2c = 0 -> c = 0
es bleibt also:
f(x) = ax4 + bx³
Der Punkt (-1 | -2) liegt darauf -> f(-1) = -2 = a - b
Der Punkt (-1 |-2) ist ein Teifpunkt -> f'(-1) = 0 -> 4a - 3b = 0
Damit hast du 2 Gleichungen um die beiden verbeleibenden Parameter zu bestimmen.
Ich weiß nicht ob ich noch eine Antwort bekomme, aber ich hätte dazu eine Frage. Wenn mir gesagt wird, dass ich ein Wendepunkt auf dem Graphen liegt, rechne ich die erste und zweite Ableitung, aber nicht die normale Funktion. Das mache ich bei Extremstellen zb wenn ein Hochpunkt oder Tiefpunkt gegeben ist. Ist das in diesem Fall nur so, dass man das macht, weil man eine extra Information brauche oder wie? Hätte jetzt gedacht, dass dadurch dass die Info gegeben ist, dass die Wendetangente da ist, ich noch iwas anderes machen muss. Hoffe du verstehst was mein Problem ist :(
Eine allgemeine ganzrationale Funktion 4. Grades sieht so aus:
f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
Im Endeffekt benötigst du 5 Informationen (=Gleichungen), da du 5 Informationen suchst(a bis e).
Der Wendepunkt liefert dir in diesem Fall gleich 3 Informationen:
- Der Punkt selbst. f(0) = 0
- Der Fakt das x = 0 eine Wendestelle ist. f''(0) = 0
- Der Fakt das die Tangente in diesem Punkt die x-Achse ist. Die x-Achse hat die Steigung Null, also hat die Tangente die Steigung Null, also ist die Steigung in diesem Punkt Null. f'(0) = 0
Der Tiefpunkt gibt dir 2 Informationen:
- Der Punkt selbst f(-1) = -2
- Der Fakt das ein Tiefpunkt die Steigung 0 hat. f'(-1) = 0
Beachte die Zahl in der Klammer ist immer der x-Wert die Zahl außerhalb der Klammer ist immer der y-Wert. Du musst jetzt also deine Funktion 2-mal ableiten und dann deine 5 Gleichungen aufstellen. Fang mit den ersten 3 Gleichungen an. Wenn x = 0 ist, ist das immer gut. Sie geben dir nämlich direkt c, d und e. In die anderen beiden Gleichungen kannst du dann c, d, e einsetzen. Schon hast du zwei Gleichungen mit 2 Variablen. Das müsstest du dann hinkriegen.
Hier die Gleichungen, die man Anhand der Aufgabe aufstellen kann. Man erhält ein LGS mit 3 Gleichungen und Unbekannten.
Die allgemeinen Funktionen sind doch immer bekannt! Einfach aufstellen:
y = ax^4 + bx³ . . .