Ganzrationale Funktion aufstellen?
Hallo,
ich mach gerade eine Aufgabe zur ganzrationalen Funktion und ich soll eine ganzrationale Funktion dritten Grades aufstellen mit den Nullstellen 0,5 , 2,5 , -2. Und der Graph schneidet die y-Achse bei 3, aber wie mache ich das mit dem Schnittpunkt?
2 Antworten
Sie haben n Nullstellen gegeben und müssen ein ganzrationale Funktion n.ten grades aufstellen, so können wir die Produktform aufstellen und auflösen:
f(x) = (x - Nullstelle₁) * (x - Nullstelle₂) * (x - Nullstelle₃) * ...
f_{1}(x) = (x - 0,5) * (x - 2,5) * (x - -2) = (x - 0,5) * (x - 2,5) * (x + 2) = x³ - x² - 4,75x + 2,5
Jetzt schaun wir wo das die y-Achse schneidet:
y = x³ - x² - 4,75x + 2,5
y = 0³ -0² - 0x + 2,5 = 2,5
Dann schauen wir, wo es eigentlich die y-Achse scheiden soll (3), rechnen die Realtion dieser aus und multiplizieren f_{1}(x) damit:
3 / 2,5 = 1,2
f(x) = 1,2 * f_{1}(x) = 1,2 * (x - 0,5) * (x - 2,5) * (x + 2)
f(x) = 1,2(x - 0,5)(x - 2,5)(x + 2) = 1,2x³ - 1,2x² - 5,7x + 3
Alternativ können wir durch Polynominterpolations uns einfach eine Funktion mit den Eigenschfften errechnen:
A(0,5 | 0), B(2,5 | 0), C(-2 | 0), D(0 | 3)
I(x) = f(x)
f(x) = 1,2(x - 0,5)(x - 2,5)(x + 2) = 1,2x³ - 1,2x² - 5,7x + 3
aus dem Schnittpunkt gewinnst du den Parameter a
.
f(x) = a*(x-0.5)(x-2.5)(x+2.5)
jetzt
f(x) = 3 , x = 0 einsetzen und a bestimmen .