Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe zu der Differentialrechnung behilflich sein?
Bestimme die Funktionsgleichung
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 2. Grades schneidet bei x=-1 die x-Achse und hat im Punkt P(3/2) eine waagerechte Tangente.
3 Antworten
Eine waagerechte Tangente bei P(3|2) bedeutet, dass dies der Scheitelpunkt sein muss.
D. h. die Funktion sieht in der Scheitelpunktform so aus: f(x)=a(x-3)²+2
(allgemein: S(d|e) => f(x)=a(x-d)²+e)
Jetzt setzt Du nur noch den anderen gegebenen Punkt P(-1|0) ein und rechnest a aus:
0=a(-1-3)²+2
0=a(-4)²+2
0=16a+2
16a=-2
a=-1/8
also: f(x)=-1/8(x-3)²+2
Wenn Du möchtest, kannst Du das noch in die Normalform umrechnen..
allg. Form:
f(x) = ax² + bx + c
f'(x) = 2ax + b
Du hast insgesamt 3 "Punkte" gegeben
f(-1) = 0
f(3) = 2
f'(3) = 0
Somit hast du 3 Unbekannte und 3 Gleichungen
I) 0 = a * (-1)² + b * (-1) + c
II) 2 = a * 3² + b * 3 + c
III) 0 = 2 * 3 * a * b
* Sorry für die Reihenfolge
Jetzt musst du nur noch das LGS lösen.
-- Alle Berechnungen ohne Gewähr --
Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades sieht in ihrer verallgemeinerten Form so aus -->
y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c
Sie hat also 3 unbekannte Parameter, nämlich a, b, und c.
Das bedeutet, man braucht 3 Informationen um diese Funktion eindeutig festzulegen.
Nun zu deinem Beispiel -->
1. Information :
Die Funktion geht durch den Punkt (-1|0)
Die x-Achse schneiden bedeutet y hat an der Stelle den Wert Null.
2. Information :
Die Funktion geht durch den Punkt (3|2)
3. Information :
Wenn eine Funktion in einem Punkt eine waagerechte Tangente hat, dann hat die 1-te Ableitung f´(x) in diesem Punkt den Wert Null.
Also -->
Die 1-te Ableitung hat an der Stelle x = 3 den Wert 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Jetzt bildest du erstmal die 1-te Ableitung -->
y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c
y´ = f´(x) = 2 * a * x + b
Nun stellst du mit Hilfe deiner 3 Informationen ein Gleichungssystem auf -->
I.) a * (-1) ^ 2 + b * (-1) + c = 0
II.) a * (3) ^ 2 + b * (3) + c = 2
III.) 2 * a * (3) + b = 0
Nun vereinfachst du dieses Gleichungssystem -->
I.) a - b + c = 0
II.) 9 * a + 3 * b + c = 2
III.) 6 * a + b = 0
Nun rechnest du weiter -->
Aus der Gleichung III.) ergibt sich -->
III.) b = - 6 * a
Nun kannst du b aus III.) in I.) einsetzen -->
I.) a - (-6 * a) + c = 0
I.) 7 * a + c = 0
I.) c = - 7 * a
Nun setzt du die gefundenen Identitäten für b und c in II.) ein -->
II.) 9 * a + 3 * (-6 * a) + (-7 * a) = 2
II.) 9 * a - 18 * a - 7 * a = 2
II.) -16 * a = 2
II.) a = - 1 / 8
Nun setzt du a in die gefundenen Identitäten für b und c ein -->
b = - 6 * (-1 / 8)
b = 3 / 4
c = - 7 * (-1 / 8)
c = 7 / 8
Die Funktion lautet ja y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c, nun ersetzt du die Parameter a, b und c durch ihre Zahlenwerte und erhältst -->
y = f(x) = - (1 / 8) * x ^ 2 + (3 / 4) * x + (7 / 8)