Kann jemand bitte mir beim Lösen dieser Aufgabe helfen?
a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades schneidet die x -Achse an der Stelle x=−5 und hat an der Stelle x=−1 einen Wendepunkt.
Die Wendetangente hat die Gleichung y=−12 x+4 .
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
1 Antwort
Das allgemeine Gleichungssystem zu der Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx +d ist aufzustellen.
Ableitungen: f'(x) = 3ax² + 2bx + c und f''(x) = 6ax + 2b
Jetzt geht es erst los:
schneidet die x -Achse an der Stelle x=−5
Das heißt f(-5) = 0
einsetzen: (A): f(x=-5) = a(-5)³ + b(-5)² + c(-5) +d = 0
Ausrechnen: -125a +25b -5c +d = 0
an der Stelle x=−1 einen Wendepunkt
Wendepunkt heißt f''(-1) = 0
Einsetzen: (B): f''(-1) = -6a + 2b = 0
PS: Das müsste übrigens heißen "Wendestelle"
Die Wendetangente hat die Gleichung y=−12 x+4
Hier mit könnte man die Steigung an der Wendestelle berechnen.
y(-1)=12+4 = 16
Der Graph f(x) muss an der Stelle x = -1 die Steigung 16 haben.
(C): f'(-1) = 16 = 3a(-1)² + 2b(-1) + c
Das waren alle verwertbaren Informationen. Nun diese zusammenfassen.
(A): -125a +25b -5c +d = 0
(B): -6a + 2b = 0
(C): 3a - 2b + c = 16
Das lösen. Dann erhälst du deinen Funktionsgraphen f(x) = x³ +3x² +19x + 145
Die Rechnung macht für mich ein Rechner:
Etwas komisch ist noch, warum man mit nur 3 Informationen 4 Variablen a,b,c,d lösen kann. Vielleichth wird das klar, wenn man es selber rechnet. Dort steht "d frei wählbar"
