Mathe bestimmen ganzrationaler Funktion?
1) Bestimmen sie alle tanzrationalen Funktionen vom Grad 3, deren Graphen symmetrisch zum Ursprung sind und die x-achse an der stelle x = 2 schneiden
2) Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch die Punkte A(2|6), B(0|4), C(3|5,5) und D(–2|8) geht.
wie funktioniert das ?
3 Antworten
1) Bedingung "Punktsymetrie f(x)=-1*f(-x)
f(x)=a3*x^3+a2*x^2+a1*x+ao mit x=0 ist ao= 0 Graph geht durch den Ursprung
mit f(x)=-1*(f(-x) ergibt sich f(x)=a3*x^3+a1*x Graphen gehen durch den Ursprung
mach die Probe mit x=1 und x=-1
nun den Graph auf der x-Achse verschieben
f(x)=(x+a) mit a>0 verschiebt auf der x-Achse nach "links"
a<0 verschiebt nach "rechts"
probiere f(x)=x^2 und nun f(x)=(x+2)^2 und f(x)=(x-2)^2 und notiere das Ergebnis
2) f(x)=a3*x^3+a2*x^2+a1*x+ao
wir haben hier 2 Unbekannte,a3,a2,a1 und ao und mit den 4 Punkten auch 4 Gleichungen.
1) f(2)=6=a3*2^3+a2*2^2+a1*2+1*ao aus A(2/6)
2) f(0)=4=a3*0^3+a2*0^2+a1*o+1*ao aus B(0/4)
3) f(3)=5,5=a3*3^3+a2*3^2+a1*3+1*ao aus C(3/5,5)
4) f(-2)=8=a3*(-2)^3+a2*(-2)^2+a1*(-2)+1*ao aus D(-2/8)
dieses "lineare Gleichungssystem" (LGS) schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit.
1) 8 *a3+4*a2+2*a1+1*ao=6
2) 0*a3+0*a2+0*a1+1*ao=4 ergibt ao=4
3) 27*a3+9*a2+a1*3+1*ao=5,5
4) -8*a3+4*a2-2*a1+1*ao=8
Lösung mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio)
a3=-0,25 und a2=0,75 und a1=0,5 und ao=4
gesuchte Funktion f(x)=-0,25*x^3+0,75*x^2+0,5*x+4
Prüfe auf Rechen-u. Tippfehler.
1) Bestimmen sie alle tanzrationalen Funktionen vom Grad 3
Grundgleichung:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
deren Graphen symmetrisch zum Ursprung sind
Alle geraden Exponenten fallen weg.
f(x) = ax³ + cx + d
x-achse an der stelle x = 2 schneiden
Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Nullstellen. Die Nullstelle ist (2|0), damit ergibt sich die Bedingung:
f(2) = 0
Das kannst du nun in die übrige allgemeine Grundgleichung einsetzen:
f(x) = ax³ + cx + d
f(2) = a*2³+ c*2 + d
0 = 8a + 2c + d
Den Rest solltest du selbst schaffen.
Noch einfacher ist die 2. Aufgabe.
Erst hast du wieder f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Nun die Bedingungen übersetzen und einsetzen.
Punkte A(2|6)
f(2) = 6
Gleiches vorgehen wie vorhin. Du bekommst dann mehrere Gleichungen, die ein lineares Gleichungssystem (LGS) bilden. Lösen, am Ende in die Grundgleichung einsetzen und dann hast du die Funktion, die gesucht ist.
Liebe Grüße
TechnikSpezi
f(x)=a3*x^3+a1*x alle Graphen gehen durch den Ursprung
f(x)=a3*(x+c)^3+a1*(x+c) hier c>0 verschiebt nach "links" auf der x-Achse
c<0 verschiebt nach "rechts"
f(x) und f(x+c) liegen parallel
Den Grad einer Funktion bestimmst du durch die höchste Potenz beim 3. Grad z.B. x^3.
ob der Graph symetrisch zur x-Achse oder zu einem Punkt kannst du dadurch sehen ob alle potenzen gerade(dann achsensymetrisch) oder ungerade(dann punktsymetrisch) oder keins von beiden(dann keine symetrie).
Es gibt noch eine andere methode die jetzt hier jedoch zulange dauert um sie zu erklären frag doch einfach mal deinen Lehrer der hilft dir bestimmt zum.
zu dem punkt die x stelle zu finden würde ich sagen einfach die nullstellen berechnen.
bei der aufgabe zwei hab ich selber leider keinen plan sorry.
Bei einer ungeraden Funktion gibt es kein absolutes Glied, sonst ginge sie nicht durch den Ursprung.
Hier also:
fa(x)=ax³+bx
Nun b in Abhängigkeit von a so bestimmen, daß fa(2)=0.
Herzliche Grüße,
Willy