Zuerst veranschauliche mir die Situation, in dem ich den Graphen zeichne und den Punkt A eintrage. Die Grafik ist sogar schon gegeben. Ich beginne mit der allgemeinen Tangentengleichung t(x) = mx + b
Ich nehme hier eine beliebige Tangente, die durch den Ursprung geht, die hat dann die Form t(x) = mx mit b = 0
(Hier ist m = 1 gewählt, nur für die Grafik, das wird später errechnet)
Die Tangente soll durch den Punkt A gehen. Also muss ich die Gerade einmal um -1/3 nach links verschieben. So komme ich auf t(x) = m * ( x + 1/3)
Nun gilt es die Steigung m der Tangente herauszufinden. An der Stelle x0 sollen beide Funktionen die gleiche Steigung haben. Dazu muss ich beide Funktionen einmal ableiten
t(x) = m (x +1/3) = mx + 1/3 * m
t'(x) = m
f(x) = e^x
f'(x) = e^x
An der Stelle x0 sollen beide Funktionen die gleiche Steigung haben. Also gleichsetzen
1) e^x = m
Nicht nur das. Es gibt auch einen gemeinsamen Berührpunkt an dem sich Tangente und Graph treffen. Dessen Stelle errechnet man durch gleichsetzen von f(x) = t(x)
2) e^x = mx + 1/3 * m
Jetzt habe ich zwei Gleichungen für ein Gleichungssystem. Ich wähle zur Lösung das Einsetzungsverfahren. Die erste Gleichung setze ich in die zweite Gleichung ein.
m = mx + 1/3 * m |-m
Jetzt habe ich immer noch 2 Variablen. Hier sieht man schon mal wenn m = 0 ist, habe ich eine Lösung gefunden, da in jedem Term ein m drin vorkommt. Das bestätige ich rechnerisch.
0 = mx + 1/3 * m - m
0 = m ( x + 1/3 - 1) Hieraus folgt m = 0 (das wäre die Lösung im Unendlichen)
Weiter mit der Klammer: x + 1/3 - 1 = 0
x - 2/3 = 0
x = 2/3
An der Stelle x0 = 2/3 gibt es den Berührpunkt. Welche Steigung hat dort f(x) ? Die Steigung am Berührpunkt muss die Steigung der Tangente sein. Tangente und Funktion haben dort die gleiche Steigung. (Eigenschaft einer Tangente)
f'(2/3) = e^(2/3)
Damit ist dort die Steigung m = e^2/3 = 1,9477
Tangentengleichung:
