Flächeninhalt für x<0?
Hallo liebe Mathe-Experten,
wir beschäftigen uns im Unterricht gerade mit Integralen. Ich habe Probleme bei der folgenden Aufgabe und dem Ausrechnen des orientierten Flächeninhalts.
Das Integral von x=-2 bis x=0 beschreibt die eingezeichnete Fläche zwischen den beiden X-Koordinaten.
Meinem Verständnis nach, müsste F(-2) genau diesen Flächeninhalt liefern. Allerdings erhalte ich dann ein negatives Ergebnis für einen offensichtlich positiven Flächeninhalt. Warum darf ich nicht F(-2)-F(0) rechnen, sondern muss F(0)-F(-2) rechnen, damit ich auf das richtige Ergebnis komme. Und wenn F(-2) bzw. F(-2)-F(0) nicht den Flächeninhalt zwischen den beiden Punkten beschreibt, wofür steht es dann?
Offenbar habe ich einen Denkfehler, wenn es darum geht Integrale für negative X-Werte zu berechnen…
LG
4 Antworten
Da es symmetrisch ist, kannst du die Fläche auch einfach nach rechts spiegeln. Einmal rechnest du | F(1) - F(0) | und addierst | F(2) - F(1) |. Jedes Teilergebnis musst du positiv machen, denn Flächen sind nur positiv.
----------
Ergänzung Bild
Du rechnest sowieso immer obere Grenze minus untere Grenze, also muss es heißen F(0) - F(-2). Damit würdest du die Fläche berechnen, die entsteht wenn du den Wert der positiven Fläche, die sich über der x-Achse befindest nimmst und subtrahierst von der Fläche, die unterhalb der x-Achse ist. Das heißt also du rechnest die Differenz aus der zwei eingezeichneten Flächen.
Das ist allerdings nicht deine Aufgabe.
Du musst deine Grenzen immer bei den Nullstellen setzen, damit es nicht passiert.
Willst du den Flächeninhalt ausrechnen, dann rechnest du:
Ages = F(-1) - F(-2) + | F(0) - F(-1) |
Das Integral von x=-2 bis x=0 beschreibt die eingezeichnete Fläche zwischen den beiden X-Koordinaten.
Den Flächeninhalt bekommst du, wenn du die Beträge der Integrale von -2 bis -1 und von -1 bis 0 addierst.
∫f(x) dx = F(b)-F(a) [ Grenzen a bis b]
Integrationsrichtung links nach rechts -> Fläche oberhalb x-Achse positiv, unterhalb negativ
Integrationsrichtung rechts nach links -> Genau die Negation davon
<=> -∫f(x) dx = F(a)-F(b)= ∫ f(x) dx [ b bis a]
Du rechnest also damit den negativen orientierten Flächeninhalt zwischen den Grenzen a und b aus.
Du hast 2 Flächen, über der x-Achse und unter der x-Achse. Du musst die Beträge der Integrale addieren.
Es geht hier um den orientierten Flächeninhalt. Mir geht es nicht umbedingt so sehr um diese Aufgabe (sie dient nur als Beispiel). Ich frage mich, was ich mit F(-2) bzw. F(-2)-F(0) denn nun berechne, wenn es nicht der Flächeninhalt zwischen x=-2 und x=0 ist.
Klar, so hätte ich mir dann auch geholfen ;). Aber ich verstehe noch nicht, welche Fläche ich eigentlich berechne wenn ich F(-2)-F(0) bzw. einfach F(-2) ausrechne