Unterschied zwischen integral und partialsummen?
Was ist der Unterschied zwischen einem bestimmten integral und einer partialsumme? Bei beiden hat man eine Funktion die ein einen Wert hat. Bei beiden summiert man ja die Werte die in einem Bereich vorkommen. Warum erhält man jedoch unterschiedliche Ergebnisse BSP: f(x) =(1÷3)^x
Für das integral von 0 bis inf ist das Ergebnis-0,828
Bei der partialsumme jedoch ist das Ergebnis 1,5
1 Antwort
Bei der Partialsumme werden die Funktionswerte an den Punkten x = 0, 1, 2, 3 ..
aufaddiert. Bei Integral werden zusätzlich alle Zwischenwerte mit addiert, beispielsweise auch der Punkt 1,414213. Und es werden echte Flächenstücke akkumuliert. Das bedeutet, dass jeder erdenkliche Funktionswerte mit dem obligatorischen dx zu multiplizieren ist.
Dein Integralergebnis ist übrigens falsch. Richtig wäre der Wert 0,91024.
Wenigstens liegt in der gleichen Größenordnung von 1,5
Du kannst Deine Partialsumme in ein Integral überführen, indem Du die Streifenbreite dx=1 schrittweise reduzierst und dafür die Abtastdichte für die Funktionswerte im gleichen Maße reduzierst. Dann nähert sich der Wert von 1,5 allmählich dem Wert von 0,91024. Das ist ja genau der Grundgedanke der Infinitesimalrechnung