Unterschied Orientierter Flächeninhalt und normaler Flächeninhalt?

Ich verstehe nicht wieso man die beiden unterscheidet also der einzige Unterschied für mich ist dass bei mehreren Intervallen, das Integral etwas Minus rechnet wo der Flächeninhalt Plus rechnet.

Z.B.: Das Integral kann ja nur in einem Intervall nichts voneinander abziehen, wenn das das Intervall nur von -1 bis 1 ist, wo soll das Integral dann etwas wegziehen für die Bilanzsumme. Dann ist das doch dasselbe wie der Flächeninhalt oder nicht?

Answer 1

[Volens]

Langer Rede kurzer Sinn:

du darfst über eine Nullstelle nicht hinwegintegrieren.

Daher integrierst du immer von Nullstelle zu Nullstelle (bzw. Intervallgrenze) und addierst die Beträge der bestimmten Integrale.

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Comments

[qu3st1onm4st3r]

So kann man es auch formulieren :D ist irgendwie verständlicher :P

Answer 2

[qu3st1onm4st3r]

Nun ja, das integral betrachtet Flächeninhalte (FI) über der x-Achse als positiv, und FI unter der x-Achse als negativ. Laut deinen Definitionen kann ein Flächeninhalt nicht negativ sein, also nennt man das ganze dann orientierten Flächeninhalt.
Ein integral kann auch null sein! (betrachte hier das Integral einer sinuskurve, oder f(x)=x) es gibt Flächen, die kongruent sind, aber im integral mit gegensätzlichen Vorzeichen erscheinen und zusammen null ergeben)
Der "währe Flächeninhalt" hat sozusagen keine Vorzeichen. Während das Integral unserer sinuskurve null ist, ist der FI ungleich null. (Es existieren ja auch 2 Flächen!)

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[qu3st1onm4st3r]

Sieh dir hierzu vielleicht die sinuskurve an: die Fläche links der y-Achse (also von -Pi bis Null) ist Deckungsgleich mit der rechts der y-Achse (also Null bis Pi) das Integral müsste folglich Null ergeben!
Beweis:
Der Sinus integriert ergibt -cos(x)
Die inegralgrenzen bleiben hierbei gleich (wir integrieren also von -Pi bis Pi über cos(x) dx)
Der -cos(-Pi) = - (-1) = 1
Der -cos(Pi) = - (-1) = 1
Wir ziehen die untere Grenze von der oberen ab
=> -cos(-Pi) - (-cos(-Pi)) = 1-1=0
Somit ist das Integral = null, der Flächeninhalt aber nicht! Den erhältst du, indem du den Betrag der einzelnen integrale  addierst (also -Pi bis Null und Null bis Pi)
Der orientierte Flächeninhalt wäre hier der "negative Flächeninhalt" (Tipp: wir betrachten immernoch die sinuskurve)
Der "negative FI" liegt links der y-Achse, da er ja unterhalb der x-Achse verläuft.