Integralrechnung Flächeninhalt bestimmen, Frage zur Aufgabenstellung?
Ich habe zwei Aufgaben gegeben:
1)Betrachten Sie das Intervall 𝑰 = [−𝟑; 𝟒]. Berechnen Sie die Flächenbilanz über dem gegebenen Intervall. Interpretieren Sie die Bedeutung Ihres Ergebnisses mathematisch.
2)Berechnen Sie die Fläche, die die Funktion mit der x-Achse einschließt. Berechnen Sie zunächst geeignete Intervalle zur Flächenaufteilung.
Ich habe die 1) so berechnet:
Bei der 2 habe ich mit Satz des Nullprodukts und PQ-Formel
3 Nullstellen bestimmt
x=0
x1=-3
x2=4
Ich könnte jetzt wieder die Stammfunktion berechnen und anschließend den Flächeninhalt berechnen. Das würde doch dann aber wieder auf Aufgabe 1 hinaus laufen.
Wo liegt der Unterschied zur Aufgabe 1 und 2?
3 Antworten
1.1) Da sind zwei Fehler drin:
Du müsstest schon in der 1. Zeile ganz oben das + C schreiben und nicht erst in der zweiten.
F(4) = 64 - 64/3 - 96 = -53,33
F(-3) = 20,25 + 9 - 54 = -24,75
F(4) - F(-3) = -53,33 + 24,75 = -28,58
Bei der Bilanz wird über das gesamte Intervall integriert und die entsprechenden Vorzeichen der Flächen werden berücksichtigt.
Mathematische Interpretation: Das negative Ergebnis kommt dadurch zustande, dass mehr Fläche unterhalb der x-Achse liegt, die damit negativ ist als über der x-Achse, die positiv ist.
1.2) Ein Flächeninhalt kann per Definition nie negativ sein. Der Flächeninhalt ist daher immer der Betrag des Integrals. Damit sich positive und negative Werte des Intervalls nicht gegenseitig aufheben wie in Aufgabe 1, muss abschnittsweise zwischen den Nullstellen integriert werden und die Beträge der Ergebnisse müssen addiert werden.
Die Stammfunktion muss nicht erneut ausgerechnet werden, das ist ja schon am Anfang passiert. Die Nullstellen hast du ja schon ermittelt.
Dann geht die Rechnung so:
A = ∣F(0) - F(-3)∣ + ∣F(4) - F(0)∣
F(0) = 0
F(-3) = -24,75
F(4) = -53,33
A = ∣0 - (-24,75)∣ + ∣-53,33 - 0∣ = ∣24,75∣ + ∣-53,33∣ = 24,75 + 53,33 = 78,08 FE
F(-3) = -24.74 kommt doch nur einmal vor hier :
∣F(0) - F(-3)∣ + ∣F(4) - F(0)∣................einmal ist 0 die Obergrenze , einmal ist es 4
bei 1) werden positive Flächen ( oberhalb der x-Achse ) und negative miteinander verrechnet.
Es kann daher NULL als Wert erscheinen , obwohl real Fläche da sind.
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bei 2) integriert man von Untergrenze bis NSt-Eins ,dann zur nächtsten usw. und addiert dann die Beträge der einzelen Integrale und erhält so die "echte" Fläche.
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PS : noch mal der Hinweis : erst wenn man weiß , dass zwischen -3 und 4 keine weitere Nullstelle ist , darf man F(4) - F(-3) bilden .
Deine 11.92 müssen auch falsch sein , weil die Differenz der pos und neg Flächen eigentlich 53.33 - 24.75 sein müsste
Wenn Du die Funktion skizierst, wirst Du vermutlich Flächenanteile unter der X-Achse haben. Das Problem ist, daß diese Anteile beim Integral negativ gerechnet werden. Dh, wenn Du den Wertebereich >0 vorgibst, bleiben nur die richtig gewerteten Flächenanteile übrig und bei dem Rest mußt Du das richtige Vorzeichen berücksichtigen.
Danke für deine hilfreiche Antwort.
Die Formel lautet doch F(b)-F(a)
Warum macht man dann -53,3+24,75?
Müsste es nicht lauten -53,3-24,74