Frage zu Integralrechnung (Berechnen einer Fläche)?
Hallo,
habe eine Frage zu einer Integralrechenaufgabe. Die Aufgabe lautet:
*Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f, der Normalen in P und der x-Ache begrenzt wird.
Aufgabe: f(x)= -x² ; P (1 / -1)
Nun habe ich die Normale errechnet: y= 1/2*(x-x1)-1 = 1/2x-3/2
Danach müsste ich ja diese Formel in die Integralrechnung einsetzen um dann die Stammfunktion zu errechen. Ich habe dazu auch mir den Graphen, sowie die Normale aufgezeichnet. Allerdings weiß ich nicht was jetzt für Intervalle über und unter dem Integralzeichen stehen müssten... Hier meine Stammfunktion ohne die Intervalle:
[(-1/3x³9-(1/4x²-3/2x]
Wie bekomme ich die Intervalle? Diese sind auf der Zeichnung nicht zu identifizieren (denke ich :-D)?
mfg Tribunator
6 Antworten
Ich schreibe die Normale n(x) ( = x/2 -3/2). - Die Fläche zerfällt in zwei Summandenflächen:
Für x = 0 hat f(x) eine Nullstellen, und für [0;1) ist f(x) > n(x); also ist die erste Summandenfläche die von f(x) und der x-Achse eingeschlossene und entspricht (bis auf das Vorzeichen) der Integral ∫ f(x) dx in den Grenzen 0; 1.
Für (1, ∞) ist n(x) > f(x), und g(x) hat bei x = 3 eine Nullstelle also ist die zweite Summandenfläche die von g(x) und der x-Achse eingeschlossene und entspricht (bis auf das Vorzeichen) der Integral ∫ g(x) dx in den Grenzen 1; 3 (das sich leichter als Dreiecksfläche berechnen lässt).
Durchführung bei Ellejolka.
du hast doch den Punkt gegeben!
-x^2 geht durch den Ursprung, also integrierst du f(x) von Null bis Eins, weil dort ja der Punkt liegt. Ab da musst du dann die Normale Integrieren, und zwar bis zu ihrem Schnittpunkt mit der x-Achse, den du ganz einfach durch Nullsetzen berechnen kannst.
Als Lösung für die Fläche sollte 4/3 rauskommen (wenn ich mich nich verrechnet ;-) ). Nicht vergessen den Betrag zu nehmen...
MFG
die Normale hat, da halt eine Gerade, die Form
g(x)=m*x+n
du weisst: g(1)=-1
und
g'(1)*f'(1)=-1
f'(x)=-2x
g'(x)=m
also
m*(-2*1)=-1
m=0.5
wegen g(1)=-1 ist
-1=0.5*1+n
n=-1.5
also ist insgesamt g(x)=0.5*x-1.5
wir sehen hier, dass die Normale eine positive Steigung hat.
der einfachheit halber definiere ich jetzt die x-achse mal ebensp als funktion abhängig von x:
h(x)=0
um nun weiter zu machen, ist es sinnvoll, mal alle Schnittpunkte zu bestimmen:
f(x) und g(x):
ist bekannt, liegt bei (1/-1).
Wir gehen mal davon aus dass andere Schnittpunkte mit der arabel nicht relevant sind
f(x) und h(x) aka nullstellen von f(x):
bei x=0 trivialerweise.
g(x) und h(x):
0.5x-1.5=0
0.5x=1.5
x=3
demnach haben wir nun 3 relevante x-werte:
x=0, x=1 und x=3
anhand der zeichnung siehst du in welchen bereichen welche funktion zu integrieren ist.
anhand deiner skizze müsstest du auch sehen dass es wenig sinn macht wenn wir den kompletten x-bereich betrachten.
denn beispielsweise das integral zwischen x-achse und parabel/normale im negativen x-bereich ist unendlich.
d.h. links von der y-achse wäre der flächeninhalt zwischen den funktionen schon unendlich.
was sicher n9cht im sinne der aufgabe ist.
ebenso ist der bereich für x>3 recht sinnfrei, da gleiches problem:
normale hat positive steigung, demnach wäre das integral von x=3 bis unendlich dort unendlich.
also wieder sinnfrei.
demnach betrachten wir nur mal den bereich x=0 bis x=3 der auch als einziger ne räumlich abgeshclossene struktur hat.
die berechnung ist da einfach:
|integral x=0 bis x=3 von f(x)|+|integral x=3 bis x=5 von g(x)|
warum nehme ich betragsstriche?
ganz einfach. weil f(x) sowie h(x) in dem bereich unter der x-achse läuft und da eventuell ne negative zahl rauskommt pro integral.
flächen haben aber niemals eine negative größe.
zudem würden sich, da hier mehrere integrale addiert werden, die zahlen gegenseitig wegaddieren, bspw. -5+5=0.
das wollen wir nicht. von daher der betrag dami wir immer nur positive flächenzahlen haben.
Versuch einfach die Grenzen zu schätzen, ansonsten versuchs mit z.b. Nullstellen
was soll dieses x1 sein? btw
-x² ist eine nach unten geöffnete Normalparabel --> nur 1 Nst x0=0
wenn ich wüsste wie man hier Bilder einfügt, würde ich dir die Funktion schicken, da sind die Grenzen relativ klar erkennbar
Das x1 kommt z.B. aus der Tangentenformel, welche ich hier angewandt habe: y=m*(x-x1)-y1
Hallo, m.E. sind die Grenzen Deines Integrals die Nullstellen der jeweiligen Funktionen:
0 und 3. Nun also gilt F(3) - F(0) = -9
x1 ist der x-Wert des Punktes P, in diesem Fall 1. Normalerweise wird die 1 hinter dem x auch klein geschrieben aber ich wusste nicht wie das geht. Und die 9 in der Stammfunktion war ein Versehen, es sollte ein )-Zeichen sein. Nun aber wie errechne ich die Nullstellen von -x² ? Ich meine ich hätte das so gemacht: -x²=0 [*(-1)] ergibt = x² = 0 daraus die Wurzel ergibt x= 0. Dadurch habe ich aber nur ein Ergebnis und wenn ich ein X ausklammere bekomme ich auch bei beiden Nullstellenergebnissen nur 0 heraus.