Nun bin ich mir aber unsicher, was unter „Untersuchen Sie“ gemeint ist.
Es muss auf jeden Fall eine Herleitung mit den Mitteln der Mathematik erfolgen.
"Ich sehe sofort..." würde ich nicht dazu zählen, obwohl es tatsächlich offensichtlich ist. So bleibt entweder eine rechnerische oder eine graphische Herleitung.
Bei der graphischen Herleitung könnte man so vorgehen:
Es gibt nur 3 Möglichkeiten, eine Tangente einzuzeichnen, die sowohl durch A(0/1) geht als auch den Graphen von g(x) berührt und nicht echt schneidet, siehe Skizze:
Was meint ihr, muss ich es auch noch rechnerisch zeigen, dass es wirklich drei Tangente an Kg gibt?
Ich fürchte ja. Als Korrektor würde ich aber auch die graphische Untersuchung gelten lassen.
Könnt ihr mir vielleicht die rechnerische Bestimmung genau erklären?
Ansatz der Tangentengleichung:
t(x) = mx + 1
Für die Tangente gilt im Berührpunkt:
m = g'(x)
daraus folgt für den Berührpunkt:
t(x) = g'(x) * x + 1 = (-2x^3 + 6x)x + 1
t(x) = -2x^4 + 6x^2 + 1
Der Berührpunkt muss sowohl auf der Tangente als auch auf dem Graphen von g(x) liegen. Daher schneiden wir die beiden durch Gleichsetzen:
t(x) = g(x)
-2x^4 + 6x^2 + 1 = -0,5 x^4 + 3x^2 + 1
und lösen nach x auf.
(Korrekterweise müsste man ergänzen und hier hat die Musterlösung einen Mangel):
Ein Berührpunkt liegt für alle doppelten Schnittpunkte vor. Daher können nur doppelte Lösungen der Gleichung einen Berührpunkt ergeben. Einfache Lösungen ergeben echte Schnittpunkte mit Durchdringung der beiden Graphen.
Auflösen nach x:
-2x^4 + 6x^2 + 1 = -0,5 x^4 + 3x^2 + 1 ∣ -1
-2x^4 + 6x^2 = -0,5 x^4 + 3x^2 ∣ + 0,5x^4
-1,5x^4 + 6x^2 = 3x^2 ∣ - 3x^2
-1,5x^4 + 3x^2 = 0
x^2 (3 - 1,5x^2) = 0
erste doppelte Nullstelle bei x = 0
zugehörige Tangentengleichung:
m = g'(0) = 0
t(x) = 0*x + 1
t(x) = 1
Weitere Nullstellen:
3 - 1,5x^2 = 0
1,5 x^2 = 3
x^2 = 3/1,5 = 2
Auch hier handelt es sich wegen des Quadrates um eine doppelte Nullstelle, womit ein Berührpunkt vorliegt:
x = ±√2
Lösung: es gibt mögliche 3 Berührpunkte und damit 3 mögliche Tangenten. Eine davon hat die Gleichung:
t(x) = 1