Nullstellen und globaler Verlauf einer ganzrationalen Funktion?
f(x)= x^2 (x-4) (x-2) (x+3)
Bestimmen sie die nullstellen von f, die Art der nullstellen (ob mit oder ohne VZW), das behalten der Funktion für x ♾ und -x ♾ und skizzieren sie den globalen Verlauf der Funktion. Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich habe bis jetzt die nullstellen 0?, +4,+2 und -3
4 Antworten
Nullstellen bei x = -3; 0; 2; 4 (Linearfaktoren).
Bei x = 0 ist auch ein Extremwert (Tiefpunkt) wegen x² (zweipunktige Berührung).
Die Parabel kommt von links unten hoch und geht jenseits x = 4 rechts nach oben.
(Würde sie von links oben kommen, stünde ein Minus vor der Funktion.)
Geometrisch fallen bei einem Extremwert der jeweils letzte Punkt des rechten und des linken Zweigs aufeinander in einen Punkt. Bei uns war das immer eine zweipunktige Berührung.
(Bei einem Wendepunkt kommt sogar eine dreipunktige Berührung zustande.)
Auf diese Weise passt dann die Menge der Nullstellen mit dem Grad zusammen, hier ^5.
Ich finde hier "zweipunktige Berührung" auch sprachlich schöner als "doppelte Vielfachheit". Man kann es aber auch so sagen.
Beachte, dass die Null eine doppelte Nullstelle ist! Das siehst du daran, dass du die Funktion schreiben kannst als
Da du fünf Linearfaktoren hast, ist f(x) eine Funktion 5. Grades.
Bei der doppelten Nullstelle hast du keinen Vorzeichenwechsel, bei den drei anderen, einfachen Nullstellen tritt ein Vorzeichenwechsel ein.
Für sehr kleine Werte von x (genauer: für alle Werte, die kleiner als -3 sind) sind alle fünf Faktoren von f(x) negativ. Für alle x-Werte, die kleiner als - 4 sind, sind alle fünf Faktoren dem Betrag nach größer als 1. Wir schliessen daraus, dass gilt
Für große Werte von x, genauer für alle x-Werte, die größer als 4 sind), sind alle fünf Faktoren von f(x) positiv. Für alle x-Werte, die größer als 5 sind, sind alle fünf Faktoren von f(x) größer als 1. Wir schliessen daraus, dass gilt:
Bei x=0 hast Du eine sogenannte doppelte (zweifache) Nullstelle. Dort berührt der Graph nur die x-Achse, d. h. hier hast Du keinen Vorzeichenwechsel (das ist immer der Fall, wenn die Nullstellen, 2-, 4-, 6-, ...-fach sind); die anderen Nullstellen sind "einfache" (Exponent ist 1); hier wird die x-Achse geschnitten, d. h. hier kommt es zu einem Vorzeichenwechsel (ist immer der Fall, wenn die "Mehrfachheit" der Nullstelle ungerade ist, also 1-, 3-, 5-, ...-fach).
Du kannst auch je einen x-Wert knapp vor bzw. hinter der Nullstelle einsetzen und schauen, was das Vorzeichen macht; dazu brauchst Du hier natürlich nur den entsprechenden Faktor anschauen. D. h. bei der Nullstelle x=4 setzt Du (im Kopf) in die Klammer (x-4) einmal z. B. 3,9 und einmal 4,1 ein. Bei x=3,9 ist (x-4) negativ, bei x=4,1 positiv, also: Vorzeichenwechsel.
Bzgl. des Unendlichkeitsverhaltens brauchst Du die höchste x-Potenz inkl. Vorfaktoren: dazu multiplizierst Du hier aus allen Faktoren nur die höchsten x'e, also x² * x * x * x = x^5. Dies ergibt für große positive x einen großen positiven Wert, und für große negative Werte ist x^5 auch negativ, d. h. die Funktion läuft für x->plus-unendlich gegen plus-unendlich, und für x->minus-unendlich gegen minus-unendlich.
Jetzt muss ich das gleiche mit der Funktion g(x)= x^3 - 3x^2 -x +3 machen. Sind da die nullstellen 0, 3, und -3?
Wie kommst Du darauf? Setzt Du x=0 ein, kommt doch f(0)=3 raus, ist also schonmal keine Nullstelle.
x=3 passt (zum Probieren würde ich eher mit x=1 oder x=-1 beginnen)
Aber mit dem "Raten" von x=3 hast Du ja schonmal eine Nullstelle. Jetzt könnte man entweder weitere (ganzzahlige) Nullstellen "raten", indem man Teiler des Absolutglieds, also von 3, probiert, also +/- 1 und +/-3 (d. h. +/-2 brauchst Du erst gar nicht testen, weil 2 kein Teiler von 3 ist, und 2 daher keine Lösung sein kann), oder Du machst nun die Polynomdivision durch (x-3).
Egal, wie Du es machst, Du wirst auf die weiteren Nullstellen +1 und -1 treffen...
Fehlt eigentlich nur noch der grobe Verlauf, wozu wir mal eben eine Wertetabelle erstellen:
Der Graph sieht dann so aus:
ist „zweipunktige“ das richtige Wort? Ich habe das was mit „gerader Vielfachheit“ im Hinterkopf...