Kann mir bitte jemand bei Funktionsscharen helfen?
Gegeben sei die Funktionenschar
fa (x) = ___1
12a x3 – x2 + 3 ax, a ∊ R, a > 0.
a) Untersuchen Sie die Schar auf Nullstellen
und Extrema.
b) Der Punkt P(z |f1 (z)) bildet mit dem Ur-
sprung und dem Punkt Q(z | 0) ein achsen-
paralleles Dreieck (0 ≤ z ≤ 6).
Berechnen Sie die Koordinaten von P so,
dass das Dreieck maximalen Inhalt hat.
c) Die Tangente durch W (4 a ∣
_4
3 a2) schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
Berechnen Sie, für welches a das Dreieck den Inhalt 384 hat.
d) Der Graph jeder Funktion fa schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von a.
Wo genau liegt das Problem?
Naja ich verstehe nicht wie ich vorgehen muss. Ich habe keine Ahnung wie ich das alles berechnen soll, im groben schon, aber ich bin mit der Aufgabe komplett überfordert
2 Antworten
zu a): Hier gehst du genau so vor wie bei Funktionen, die keinen zusätzlichen Parameter a enthalten. Hier bedeutet das:
- x ausklammern -> erste Nullstelle ist x=0
- das was in der Klammer verbleibt mittels p-q-Formel (oder einem anderen Lösungsverfahren deiner Wahl) lösen, um die weitere(n) Nullstelle(n) zu finden
- beachte: Der Parameter a bleibt immer dabei und ist Teil der Lösung (sofern er sich nicht irgendwie wegkürzt).
Und mit den Extremstellen genau so:
- Funktion ableiten (a wird wie eine Zahl behandelt)
- Nullstellen der Ableitung bestimmen, um den Ort des Extrempunktes zu finden (wieder in Abhängigkeit von a)
- Funktion nochmal ableiten, um die Art des Extrempunkts zu bestimmen
zu b): Hier ist eine Skizze nützlich. Mit achsenparalleles Dreieck ist vermutlich ein Dreieck gemeint, das mit einer Seite parallel zur x-Achse liegt, und mit einer weiteren Seite parallel zur y-Achse liegt. Ziel ist es, sich eine Funktion für den Flächeninhalt des Dreiecks zu konstruieren, die von z abhängt.
Diese Funktion muss dann abgeleitet werden, damit man den Extrempunkt und damit den maximalen Flächeninhalt erhält.
Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist
mit den Seitenlängen b und c.
Der Parameter fällt in dieser Teilaufgabe weg, da dieser a=1 beträgt.
Nun nimmst du dir die Funktion f1(x) und ersetzt das x durch z, und setzt sie in die Formel für das Dreieck ein. Dann wird noch das zusätzliche z multipliziert und du erhältst eine Funktion vierten Grades, die jetzt abgeleitet werden soll. Die Nullstelle (zwischen 0 und 6) der Ableitung ist das gesuchte lokale Maximum der Dreiecks-Funktion und damit der größtmögliche Flächeninhalt.
zu c): Die Steigung der Tangente lässt sich herausfinden, indem man den Punkt W in die erste Ableitung der Funktionenschar einsetzt. Dies ergibt eine Steigung von -a.
Damit muss nun eine lineare Funktion aufgestellt werden (allg.: y=m*x + b). Hierbei ist m = -a. Für y wird noch die Y-Komponente und für x die X-Komponente von Punkt W eingesetzt und dann wird nach b aufgelöst.
Somit erhältst du die Funktion der Tangente:
Um den Flächeninhalt unter einer Kurve (in diesem Fall: einer Geraden) zu berechnen, nutzt man das bestimmte Integral. Die untere Intervallgrenze ist 0, die obere muss noch ermittelt werden. Sie ist der Schnittpunkt der Funktion h(x) mit der x-Achse.
Um die Nullstelle einer Funktion zu finden, setzen wir sie mit Null gleich, also:
h(x) = 0
Nach erfolgreichem Umstellen nach x erhalten wir:
x = 16/3 * a
Das ist unsere obere Intervallgrenze für die folgende Integration.
Wir führen nun die Integration über h(x) mit den besagten Intervallgrenzen durch (d.h. Stammfunktion bilden, Grenzen einsetzen, zusammenfassen):
Nun setzen wir unser Ergebnis mit dem gewünschten Flächeninhalt gleich und lösen nach a auf:
a³ = 9/128 * 384
Jetzt noch die dritte Wurzel aus a³ ziehen und du erhältst das Ergebnis a=3.
zu d): Diese Aufgabe fordert nur die Integration der Funktion f_a(x). Wie auch beim Ableiten, wird hier a wie eine Zahl behandelt.
Jein... ich habe die Vorgehensweise bei der c) ergänzt. Man kann natürlich ein paar einfache Werte ausprobieren, und schauen ob es passt. Aber idR wird die Methode "Ausprobieren" nicht als zufriedenstellende Lösung angesehen.
zur d) Ja, da hast du Recht, das hatte ich übersehen. Um die obere Integrationsgrenze zu finden, musst du zunächst den Nullpunkt der Funktion in Abhängigkeit von a bestimmen. Da das gleichzeitig ein Extrempunkt von f_a(x) ist, kannst du dafür die Ableitung nutzen. Die Nullpunkte dieser nun quadratischen Funktion findest du mit einer der dir bekannten Lösungsmethoden. Anhand der Skizze ist ersichtlich, dass der Größere von den beiden Nullstellen von Interesse ist.
Ähnlich wie in Aufgabe c) wird hier die Funktion f_a(x) integriert mit der unteren Grenze = 0 und die obere ist die soeben berechnete Nullstelle.
Graphen der Funktionen hab ich hier mal geplottet.
Der Parameter a lässt sich mittels Schieber verändern.
Ich denke, dass du bei a) ableiten musst, um die Extrema zu ermitteln und um die Nullstellen zu ermitteln, y=0 setzen. Also, ich würde das so machen, aber, ob das so passt, weiß ich nicht genau. Beim Rest weiß ich es leider auch nicht mehr genau, d) wahrscheinlich mit Integral.
Ich hätte nochmal eine kleine Frage. Bei der c) bei der Funktion h(×), muss ich erst nach a auflösen, dass ich a weiß und dann für x ausprobieren, bis man auf das Ergebnis kommt?
Und bei der d), weiß man doch gar nicht das Intervall wo ich integrieren muss oder?
Ich danke dir jetzt schon so sehr für die Hilfe, entschuldige für die Umstände, aber wir hatten das Thema noch nicht und ich muss die Aufgabe als Klausurersatz bearbeiten.