Funktionrnschar Aufgabe?

Die Schar lautet ax^3 - x^2 + 8/3x

Wie bestimme ich a so dass die funktion genau 2 extremstellen hat?

Answer 1

[Rhenane]

Wie immer: f' bilden und Null setzen. f' ist eine quadr. Funktion, d. h. beim Lösen dieser quadr. Gleichung muss der Term unter der Wurzel positiv sein, damit es 2 Lösungen (=2 mögliche Extremstellen) gibt.

Comments

[Noma643]

Ja, aber ich bekomme etwas komisches unter der wurzel raus... bei mir steht da 4/9a^2 - 8/9a

Wie mache ich da weiter?

[Rhenane]

@Noma643

Vorne hast Du einen kleinen Fehler drin (p nicht durch 2 geteilt!)

fa'(x)=3ax²-2x+8/3

3ax²-2x+8/3=0 |:(3a)

x²-2/(3a)x+8/(9a)=0

x=1/(3a)+-Wurzel(1/(9a²)-8/(9a))

Damit es 2 Lösungen gibt muss nun gelten:

1/(9a²)-8/(9a)>0 |*(9a²)

1-8a>0 |+8a

1>8a |:8

a<1/8

[Willy1729]

@Noma643

4/(9a²) ist falsch. Es muß 1/(9a²) lauten. Term unter der Wurzel gleich Null setzen. Prüfen, ob der Bereich rechts von der Nullstelle oder links von der Nullstelle positiv ist.

[Noma643]

@Rhenane

Stimmt danke! Aber warum ändert sich beim vorletzten Schritt das größer kleiner Zeichen? Weil es wurde ja nur durch 8 geteilt und nicht durch -8??

[Rhenane]

@Noma643

Ich habe einfach nur im gleichen Schritt die Seiten getauscht, damit die Unbekannte links steht. Hätte ich die Seiten beibehalten stünde da 1/8>a, was ja dasselbe ist.

[Rhenane]

@Rhenane

Und wie mihisu noch richtigerweise in seiner Antwort notiert hat, muss a=0 ausgeschlossen werden. D. h. bei meinem Lösungsweg müsste man beim Teilen dirch 3a noch hinzufügen, dass a<>0 sein muss, weil man sonst durch 0 teilen würde...

[Noma643]

@Rhenane

Hallo. Könnten Sie bei meinen letzten Fragen vorbeischauen? Da habe ich Schwierigkeiten..

Answer 2

[mihisu]

$f_a(x)=a x^3-x^2+\frac{8}{3}x$

$f_a'(x)=3ax^2-2x+\frac{8}{3}$

Die Funktion f[a] hat hier genau dann 2 Extremstellen, wenn die Ableitung 2 Nullstellen hat, also wenn die Gleichung...

$3ax^2-2x+\frac{8}{3}=0$

... zwei Lösungen hat. Für a = 0 hat man eine lineare Gleichung, die offensichtlich nur eine Lösung hat. Für a ≠ 0 handelt es sich um eine quadratische Gleichung, welche genau dann 2 (reelle) Lösungen hat, wenn die Diskriminante (das, was in der Mitternachtsformel unter der Wurzel steht) positiv ist. Also...

$\left(-2\right)^2-4\cdot 3a\cdot \frac{8}{3}>0$

$\Leftrightarrow \quad 4-4\cdot 8\cdot a>0$

$\Leftrightarrow \quad 4>4\cdot 8\cdot a$

$\Leftrightarrow \quad \frac{1}{8}>a$

$\Leftrightarrow \quad a<\frac{1}{8}$

Mit der Vorbedingung a ≠ 0 also...

$\underline{\underline{a<\frac{1}{8}\ \text{ und }a\ne 0}}$

============

Alternativ...

Falls du eher mit der p-q-Formel arbeiten möchtest, musst du die quadratische Gleichung...

$3ax^2-2x+\frac{8}{3}=0$

... zunächst normieren, indem du (für a ≠ 0) durch 3a dividierst.

$x^2-\frac{2}{3a}x+\frac{8}{9a}=0$

Diese Gleichung hat genau dann zwei Lösungen, wenn der Term, der bei der p-q-Formel unter der Wurzel steht, positiv ist...

$\left(\frac{\left(-\frac{2}{3a}\right)}{2}\right)^2-\frac{8}{9a}>0$

$\Leftrightarrow\quad \left(-\frac{1}{3a}\right)^2-\frac{8}{9a}>0$

$\Leftrightarrow\quad \frac{1}{9a^2}-\frac{8}{9a}>0$

[Multiplikation mit 9a².]

$\Leftrightarrow\quad 1-8a>0$

$\Leftrightarrow\quad 1>8a$

$\Leftrightarrow\quad \frac{1}{8}>a$

$\Leftrightarrow\quad a<\frac{1}{8}$

Mit der Vorbedingung a ≠ 0 also...

$\underline{\underline{a<\frac{1}{8}\ \text{ und }a\ne 0}}$

Comments

[Noma643]

Könnten Sie bei meinen letzten fragen vorbeischauen? Da habe ich Probleme...