Funktionenschar aufgabe?

Die Schar lautet -ax^2 +10ax -9a für a größer 0.

Wie ermittele ich a so dass der graph der Schar die gerade y=1,6x berührt?

Klar, es gilt f'(x)= g'(x) und f(x) = g(x) aber wie wende ich das konkret an

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

die Gerade hat überall die Steigung 1,6.

Es muß also gelten fa'(x)=1,6.

Außerdem müssen die Gerade und die Funktion dort einen gemeinsamen Punkt besitzen.

Du setzt zunächst die Ableitung auf 1,6 und löst das nach x auf. So bekommst Du eine Bedingung dafür, wann die Funktionenschar eine Ableitung von 1,6 hat, nämlich immer dann, wenn gilt: x=5-0,8/a.

Diesen Wert für x setzt Du in die Gleichung der Funktionenschar und in die Geradengleichung ein und setzt beide gleich. Die so entstehende quadratische Gleichung, die nur noch von a abhängig ist, teilst Du zunächst durch die Zahl vor dem a² (hier also durch 16) und nimmst dann die pq-Formel.

Das ergibt zwei positive Lösungen für a, nämlich a=0,1 und a=0,4.

Aus der Gleichung x=5-0,8/a kannst Du die dazugehörigen Werte für x, nämlich x=-3 und x=3 bestimmen.

So bekommst Du zwei Lösungspaare, bei denen Funktionen aus der Schar die Gerade y=1,6x berühren, nämlich für a=0,1 und x=-3 sowie für a=0,4 und x=3.

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[Noma643]

Hallo, ich könntest du bei meiner neuen frage vorbeischauen? Habe eine frage bezüglich der extrema einer Funktionenschar gestellt.

Answer 2

[mihisu]

$f_a(x)=-ax^2+10a x-9a\quad\left(\text{mit }a>0\right)$

$f_a'(x)=-2ax+10a$

$g(x)=1\text{,}6 x$

$g'(x)=1\text{,}6$

============

Nun soll an der Berührstelle x und für den gesuchten Wert a gelten...

$\left[1_\text{a}\right] :\quad f_a'(x)=g'(x)$

$\left[2_\text{a}\right] :\quad f_a(x)=g(x)$

Diese Bedingungen hast du ja selbst bereits genannt.

Also soll gelten...

$\left[1_\text{b}\right] :\quad -2ax+10a=1\text{,}6$

$\left[2_\text{b}\right] :\quad -a x^2+10a x-9a=1\text{,}6 x$

Das ist nun ein (nicht-lineares) Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und den 2 Unbekannten a und x, was man lösen kann.

Zum Lösen des Gleichungssystem kannst du beispielsweise die Gleichung [1b] zunächst nach x auflösen und diesen x-Wert (in Abhängigkeit von a) dann in [2b] einsetzen, um eine Gleichung zu erhalten, in der die Variable x nicht mehr vorkommt, sondern nur noch a als Unbekannte vorkommt. Löse diese Gleichung dann, um den gesuchten Wert a zu erhalten.

====== Ergänzung: Weiterführung des Lösungswegs zum Vergleich ======

Auflösen der Gleichung [1b] nach x...

$\left[1_\text{b}\right] :\quad -2ax+10a=1\text{,}6$

$\left[1_\text{c}\right] :\quad -2ax=1\text{,}6-10a$

$\left[1_\text{d}\right] :\quad x=-\frac{0\text{,}8}{a}+5$

Einsetzen von [1d] in [2b] und Auflösen der Gleichung nach a...

$\left[2_\text{c}\right] :\quad -a\cdot \left(-\frac{0\text{,}8}{a}+5\right)^2+10a\cdot \left(-\frac{0\text{,}8}{a}+5\right)-9a=1\text{,}6\cdot\left(-\frac{0\text{,}8}{a}+5\right)$

$\left[2_\text{d}\right] :\quad -a\cdot \left(\frac{0\text{,}64}{a^2}-\frac{8}{a}+25\right)-8+50a-9a=-\frac{1\text{,}28}{a}+8$

$\left[2_\text{e}\right] :\quad -\frac{0\text{,}64}{a}+8-25a-8+50a-9a=-\frac{1\text{,}28}{a}+8$

$\left[2_\text{f}\right] :\quad -\frac{0\text{,}64}{a}+16a=-\frac{1\text{,}28}{a}+8$

$\left[2_\text{g}\right] :\quad \frac{0\text{,}64}{a}+16a-8=0$

$\left[2_\text{h}\right] :\quad 0\text{,}64+16 a^2-8a=0$

$\left[2_\text{i}\right] :\quad 16 a^2-8a+0\text{,}64=0$

$\left[2_\text{j}\right] :\quad a^2-0\text{,}5a+0\text{,}04=0$

$\left[2_\text{k}\right] :\quad a=-\frac{\left(-0\text{,}5\right)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-0\text{,}5\right)}{2}\right)^2-0\text{,}04}$

$\left[2_\text{l}\right] :\quad a=0\text{,}25\pm\sqrt{0\text{,}0225}$

$\left[2_\text{m}\right] :\quad a=0\text{,}25\pm 0\text{,}15$

$\left[2_\text{n}\right] :\quad a=0\text{,}25-0\text{,}15\quad \vee\quad a=0\text{,}25+0\text{,}15$

$\left[2_\text{o}\right] :\quad a=0\text{,}1\quad \vee\quad a=0\text{,}4$

Ergebnis: Die Werte a = 0,1 und a = 0,4 erfüllen beide die geforderte Bedingung, dass der Funktionsgraph dann die Gerade berührt.

Setzt man diese Parameterwerte in die Gleichung [1d] ein, erhält man auch die entsprechende Berührstelle. (Allerdings ist die Berechnung der Berührstelle in der Aufgabenstellung nicht verlangt.)

Im Fall a = 0,1 erhält man für die Berührstelle...

$x=-\frac{0\text{,}8}{0\text{,}1}+5=-8+5=-3$

Im Fall a = 0,4 erhält man für die Berührstelle...

$x=-\frac{0\text{,}8}{0\text{,}4}+5=-2+5=3$

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[Noma643]

Hallo, ich könntest du bei meiner neuen frage vorbeischauen? Habe eine frage bezüglich der extrema einer Funktionenschar gestellt