Wie geht man bei dieser mathe (LK) aufgabe vor?
Gegeben ist die Funktionenschar fa mit fa(x) = x^4 - ax^2
a) bestimmen sie für a>0 die Ortskurve der Tiefpunkte und Wendepunkte der Schar.
5 Antworten
fₔ(x) = x^4 - ax^2
fₔ'(x) = 4x³ - 2ax
fₔ''(x) = 12x² - 2a
Extremwerte:
4x³ - 2ax = 0
2x²-ax = 0
x(2x-a) = 0
x = 0 oder ±√(a/2)
Minima?
12 * 0 - 2a < 0 die sind es nicht
12 * a²/4 - 2a = ...
Ich habe im Augenblick keine Zeit, zu Ende zu rechnen.
Später vielleicht.
Jedenfalls sitzen die Tiefpunkte auf einer nach unten geöffneten Parabel 2. Grades.
√(a/2) in 1. Ableitung eingesetzt ist positiv, also Tiefpunkte.
√(a/2) in Funktion eingesetzt, ergibt -a²/4.
Das ist die Form einer nach unten geöffneten Parabel, und das ist die erwähnte Kurve der Tiefpunkte.
Ortskurve der Wendepunkte kommt später.
Vielleicht bekommst du es ja auch selber hin.
Ich war gestern wirklich in Eile.
Und du hast gut aufgepasst.
Es war aber nur fehlerhaft abgeschrieben: ein ² fehlte.
Das Ergebnis (die drei Extremstellen) stimmt nämlich.
Wenn du das gemerkt hast, hast du vielleicht auch selbst schon zu Ende gerechnet?
Wie immer, also erstmal ableiten
f'(x) = 4x^3 - 2ax = 0
x(4x^2 - 2a) = 0
-> x = 0 oder x = +- Wurzel(0,5a)
Das gleiche noch für die 2. Ableitung und halt noch prüfen, ob es tatsächlich ein Tiefpunkt ist :)
Genauso wie bei einer normalen funktion und das a behandelst du wie eine konstante. Dann tiefpunkte bestimmen also erste ableitung gleich 0 setzen. Wendepunkte bestimmen also 2 ableitung gleich 0 setzen.
Eine ortskurve ist dann quasi der tiefpunkt mit dem a.
Bestimme die Koordinaten der Tiefpunkte und Wendepunkte. Diese sind abhängig von dem Parameter a. Stelle die x-Koordinate des ersten Tiefpunktes nach a um und setze das Ergebnis in die y-Koordinate ein. Das ergibt die erste Ortskurve. Das gleiche machst Du für den zweiten Tiefpunkt und die Wendepunkte. Aufgrund der Symmetrie der Funktion wird der zweite Tiefpunkt zur gleichen Ortskurve führen. Entsprechend sollte eine Ortskurve für die beiden Wendepunkte herauskommen.
Kannst du mir denn sagen wie man herausbekommt ob ein Tiefpunkt oder ein Wendepunkt vor liegt? Wie sehen denn die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion fa aus?
Wie kommt man auf 2x^2-ax