Ortskurven. :o
wie bestimmt man eine ortskurve auf der alle hoch- und tiefpunkte einer schar liegen. ?
2 Antworten
hoch und tief punkte... das sind alle extrempunkte.
f ' (x) = 0 muss also gelten.
dann erhälst du das x in abhängigkeit vom schar-parameter (ich nehme dafür " k " ) also erhälst du x(k) (x in abhöngigkeit von k)
auflösen kannst du das nach k, dann erhälst du k(x) (k in abhängigkeit von x)
das kannst du dann einsetzen in f (x) (ursprungsfunktion) und erhälst die funktion der ortskurve der extremstellen.
da du die information k(x), die sichertellt, dass extremstelle vorliegt einsetzt, liefert die funktion eben die ortskurve der der extremstellen. und da du t durch x ausgedrückt hast, hängt die funktion nicht von x ab, sondern vom scharparameter t ab, aber ausgedrückt durch x.
deine funktion lautete: x^3 - 12t^2x
ableiten liefert 3x^2-12t^2
nullsetzen liefert: x^2 = 4t^2
achtung beim wurzelziehen !!! betrag nicht vergessen
|x| = 2|t| (war dein t eingeschränkt auf t>0 ? sonst wirds unschön (fallunterscheidung))
|t| = |x| / 2
da wir dies in die ursürungsgleichung einsetzen, in der t^2 vorkommt, brauchen wir uns um die vorzeichen nicht zu sorgen, also auch nicht um den betrag.
ortskurve(x) = x^3 - 12 (x^2 / 4) x = x^3 - 3x^3 = -2x^3.
mit f ' = 0 extremstelle bestimmen in Abhängigkeit von t; dann nach t auflösen und Lösung in f(x) für das t einsetzen.