chill erstmal. wenn du angst hast dn studium JETZT nicht zu schaffen, dann heißt das ja nicht dass du es auch nicht schaffen wirst wenn du erst SPÄTER mit dem studium anfängst.

das ist auch einer der gründe, warum die schule VOR der uni kommt. danach hast du die grundlagen für das studium.

in mathe speziell braucht man eigentlich keine grundlagen. man fängt eh nochmal von vorne an, und dann wird so richtig "exakt" alles nochmal besprochen. deswegen sollte man aber dennoch gut in mathe gewesen sein meiner meinung nach, denn so triviale dinge wie "mit brüchen rechnen" werden selbstverständlich niemals besprochen und auch niemals wiederholt. und es eine WAHRE geschichte, während meiner zeit als übungsleiter an der uni, dass es leute gibt, die mathe studieren, die KEINE brüche rechnen können. dass diese gnadenlos untergehen werden ist völlig klar.

wer also gut in der schule war, hört das, was in der uni gemacht wird evtl. ein 2tes mal und ist gerade deswegen in der lage das gut zu verstehen. andere, die schlecht in der schule waren, hören das sozusagen dann zum ersten mal und dafür geht das in der uni dann VIEL ZU SCHNELL.

ich würde frühestens in der 11. klasse mal in der uni vorbeischaun. du kannst dir einige vorlesungen auch online angucken, wenn du dich nicht in die uni traust (Aufgrund deines erscheinungsbildes) oder bücher ausleihen. aber mach erstmal das oberstufen-zeugs.

der winkel ist doch gegen dem urhzeigersinn angegeben.

weil man gegen den uhrzeiger geht, ist vom oberen winkel die strecke PS1 der anfang des winkels, sozusagen der "start-schenkel", der sich gegen den uhrzeigersinn dreht, und der andere schenkel S1Q ist das ende.

der winkel ist somit PS1Q

in der mathematik müssen dinge immer wohldefiniert sein. d.h.: es kann nur einen wert geben, der grenzwert sein kann, wenn es denn überhaupt einen gibt.

=> wenn linksseitiger und rechtsseitiger grenzwert übereinstimmen, dann hat man schonmal eine wesentlich höhere chance, dass auch ein "normaler" grenzwert existiert.

benötigen brauchst du die linksseitigen und rechtsseitigen grenzwerte nicht! das sind nur hilfsmittel.

es kommt nun darauf an, wie man linksseitigen und rechtsseitigen grenzwert definiert. für mich macht nur die folgende definition sinn: alle folgenglieder sind strikt kleiner oder größer als der wert, dem man sich annähert (je nach "links-" oder "rechts-"seitigem grenzwert).

für die stetigkeit und differenzierbarkeit hast du jeweils auch eine auf folgen basierende definition, die es zu erfüllen gilt, und zwar für alle folgen. für jede folge muss die definition erfüllt sein. würde bei einer anderen folge etwas anderes herauskommen, d.h.: würde es einen unterschied machen, auf welche art und weise man sich einem punkt annähert, so wäre der grenzwert nicht wohldefiniert und die definition für stetigkeit oder differenzierbarkeit nicht sinnvoll.

grenzwerte der form limes x->x0 f(x) = a bedeuten immer:

lim k->unendlich f( x(k) ) = a für alle folgen x(k)

oft benötigt man zum prüfen der existenz eines grenzwertes abschätzungen, die die folge auf eine andere leichtere folge zurückführen. für diese abschätzungen ist es meistens ausreichend nur grundlegende eigenschaften der folgenglieder zu kennen, zB ob xx0 oder auch ob x=x0 ist.

man unterteilt nun den begriff "alle folgen" in 3 arten von folgen:

folgen, sodass x(k)0 für alle k. alle folgen der ersten kategorie definieren dann den linksseitigen limes. alle folgen der dritten kategorie bilden den rechtsseitigen limes. die verbleibende kategorie ist quasi ein sonderfall, von dem mit kein name bekannt ist.

nun ein beispiel, was das soll:

betrachte die funktion f(x)= überall 0, außer an der stelle 0. f(0)=1.

die funktion ist unstetig in der 0, weil da von 0 auf 1 gesprungen wird. das folgenkriterium für stetigkeit besagt: für alle folgen mit x(k)->0 soll gelten limes f(x(k)) = f( limes x(k) ) = f(0), damit f an der stelle 0 stetig ist.

wir überprüfen alle folgen aus der kategorie 1: ist x<0, so ist f(x) = 0. d.h.: f( x(k) ) = 0 für alle k. der linksseitige grenzwert ist also 0.

analog folgen aus kategorie 3: grenzwert ist auch 0.

nun aber die folge, die konstant 0 ist (0,0,0,.....): f( x(k) ) = 1 für alle k. d.h.: linksseitiger grenzwert = linksseitiger grenzwert UNGLEICH f(0). daher ist die stetigkeits-definition widerlegt.

man kann nun aber mithilfe des linksseitigen und des rechtsseitigen grenzwertes (im beispiel beide = 0) herausfinden, wie man die funktion hätte stetig fortsetzen können bis zur stelle 0. es soll gelten f( x(k) ) = f(0), also muss f(0) = 0 =linksseitiger limes= rechtsseitiger limes sein. dann wäre die funktion, die also wirklich überall gleich 0 wäre stetig.

nun betrachten wir die funktion: f(x) = 0 für x<0, und f(x)=1 für x>=0. also so eine "treppenstufe".

dann sind linksseitiger limes (=0) und rechtsseitiger limes (=1) bereits nicht gleich. den wert f(0) müsste man garnicht mehr ermitteln, da bereits vorher alles schief geht mit der stetigkeit.

zusammenfassung:

mit linksseitigem und rechtsseitigem limes hat man FAST den gesamten limes abgedeckt. man muss nur je nach anwendungszweck den sonderfall mit einbeziehen.

nochmal kurz zur differenzierbarkeit:

die funktion f(x)=|x| ist quasi so ein "V" von der form her. die frage ist die ableitung an der stelle 0. diese existiert nicht! aber wenn man von links kommt, so sieht es so aus, als ob die steigung an der stelle 0 dieselbe sein müsste, wie kurz davor. (-1) oder kommt man von rechts, so denkt man, dass die steigung sein müsste, wie kurz danach (1). es existiert sozusagen eine linksseitge und rechtsseitige ableitung. die beiden sind aber nicht gleich. ob die ableitung an der stelle 0 existiert ist aber nun nicht trivial. aufgrund der ungleichheit der linksseitigen und rechtsseitigen ableitung kann man leider nicht schließen, dass dazwischen die ableitung auch nicht existiert. das schließt man allein daraus, dass der grenzwert des differenzenquotienten auch nicht existiert. (davon existiert auch eine linksseitige und rechtsseitige variante).

ich finde, dass man das noch aus einer anderen sichtweise beleuchten sollte.

ganz abstrakt gedacht: man möchte genau diese saiten anspielen, die erklingen sollen, damit man den akkord richtig spielt.

beispiel: der akkord soll genau die töne (von tief nach hoch) E H E G H E (das klassische e-moll. achtung: manchmal (eigentlich fast überall außer in deutschland) steht stat dem H ein B, meint aber dieselbe note. dabei ist in deutschland Hb ein B und meint den halbton darunter, und fast überall anders heißt das Bb dann eben Bb (mit dem "b" mein ich eben das "b" vor einem ton, der es um nen halbton niedriger macht) beinhalten. (das was in klammern steht darf ruhig erstmal ignoriert werden!)

dann spiele ich eben genau alle diese 6 verschiedenen saiten an!

beispiel: der akkord soll genau die töne A (frequenz 440 Hz) C E beinhalten, dann spiele ich eben nur genau diese saiten, auf denen diese töne zu finden sind. dafür gibt es jetzt mehrere möglichkeiten. zB auf den höchsten 3 saiten kann man diese töne wiederfinden. (ein ausschnitt aus dem typischen a-moll) den akkord kann man aber auch wo anders spielen, zB auf den nächst tieferen saiten. dafür greift man dann aber auf höheren bünden. aber auch dann spiele ich genau diese 3 saiten an, die ich anspielen möchte.

ob man nun zupft oder schlägt ist egal. schlagen ist auch so etwas ähnliches wie zupfen. nämlich alle auf einmal. außerdem klingt es auch anders. d.h.: wenn in einem lied geschlagen wird, dann muss man beim nachspielen auch schlagen, wenn im lied alles auf einmal gezupft wird, dann muss man das auch genauso machen, sonst hört man den unterschied.

also um auf deine frage zurückzukommen: "spielt man dann einfach alle saiten?". das ist natürlich falsch. man spiel die "erwünschten" saiten, auf denen sich die töne befinden und die unerwünschten spielt man eben nicht! um zu verhindern, dass eine unerwünschte saite klingt gibt es viele möglichkeiten.

beispiel: der zeigefinger der linken hand ist auf der A-saite irgendwo. die tiefere E-saite soll nicht erklingen, dann kann man den zeigenfinger über die A-saite hinaus auch die E-saite berühren lassen, aber nicht durchdrücken! dadurch wird die E-saite im optimal fall so stark abgedämpft, dass man sie nicht hört.

beispiel: egal welche saite man nicht anspielen möchte, wenn man einen finger de rlinken hand für dan akkord nicht braucht, kann man den finger, falls er den anderen nicht im wege steht, benutzen um ihn auf die unerwünschte saite zu legen, sodass diese wieder stark abgedämpft wird. (bei diesen beiden beispielen ist es schwer die richtige druckstärke zu finden. man darf nicht zu fest, sonst klingt der ton wieder als gegriffener ton, aber auch nicht zu sanft, sonst klingt die saite als "leere saite")

beispiel: im ersten beispiel dieser reihe ging es um die E-saite. HIER ist es ratsam einfach zu üben erst ab der A-saite anzufangen zu schlagen. beim schlagen eine mittlere saite auszulassen ist ziemlich unmöglich, aber am anfang oder ende kann man später anfangen oder früher aufhören.

es gibt in sonderfällen noch weitere möglichkeiten.

was ich versucht habe klarzumachen:

es gibt kein"konzept" dem die rechte hand folgt, sondern sie spielt eben das, was DU spielen möchtest. wenn das lied, das du spielst die E-saite nicht spielt, dann spielst du sie auch nicht!

jetzt noch ein einfaches konkretes beispiel! im schulunterricht nimmt man hoffentlich noch dreiklänge durch. das sind die einfachen grundlegenden akkorde. zB C E G, als C-Dur dreiklang. auf der gitarre (weil man nicht so wie auf dem klavier nebeneinander liegende töne auf verschiedenen tasten greifen kann, sondern manchmal auf eine andere saite ausgewichen werden muss, sodass der echte dreiklang kompliziert zu spielen wäre) spielt man meistens keine typischen dreiklänge. aber warum heißt C E G C-Dur dreiklang? etwa weil der erste ton ein C ist? nun da ist natürlich noch mehr dabei. man kann auch spielen G C E und hat immer noch C -Dur (es kommt auf die töne an, nicht auf deren reihenfolge), allerdings heißt dieser akkord nicht mehr C-Dur. er heißt irgendwie so: C Dur / G , de man ausnahmsweise das G als tiefsten ton gespielt hat. es ist einfach üblich bei einem akkord den grundton auch als tiefsten ton, auf dem alles aufbaut, zu spielen. das ist der grund, warum das typische D-Dur auf der gitarre erst ab der D-Saite geschlagen wird. die darunter-liegende A-saite ist zwar nicht wirklich "verboten", weil der dreiklnag lautet: D Fis (F#) A, also ist ton A erlaubt, aber dann wäre das D nicht mehr der tiefste ton. und auf der E-Saite müsste man irgendwie (tipp: mit dem daumen) den 2ten bund greifen, weil das E nicht zum dreiklang gehört, aber das Fis schon. dann wäre der tiefste ton aber ein Fis, also immernoch kein D.

das D-Dur spielt man also erst ab der D-saite.

les dir das einfach ein paar mal durch und probier weng aus., dann verstehst du was ich mein.

das ist im prinzip so wie rechnen mit rest aus der grundschule !

beispiel: 12 geteilt durch 5 = 2 rest 2.

der rest 2, sollte aber auch durch 12 geteilt werden ! also hast du 2 + (2 geteilt durch 2) und das ist 2 + 1 sechstel.

das ist ein besonders einfacher kettenbruch, da du hier nicht mehr weiter kommst. (es steht bereits eine 1 im zähler)

nun zu deinem beispiel.

260 / 155 = 1 rest 105 = 1 + (105/155) nun schreibst du statt den rest-bruch 1/kehrwert-davon, also 1 / (155/105). es gilt nämlich (105/155) = 1 / (155/105)

dadurch hast du die größere zahl im nenner (die ist immer größer, wenn du es richtig machst) in den zähler eines anderen neuen bruches gesteckt. dannkannst du diesen teil-bruch wieder dividieren mit rest!

das geht dann also weiter: 155/105 ist 1 rest 50 also 1 + (50/105) ..

dein gesamter kettenbruch ist dann 1 + 1/( 1 + (50/105))

dann wieder den zuletzt berechneten teilbruch in einen neuen bruch umwandeln.

1 + 1/( 1 + 1/(105/50))) = 1 + 1/( 1 + 1( 2 +(5/50))))) und so weiter.

und wenn du das schematisch wie in dem einen bild, welches deiner frage zugefügt ist aufschreibst, tust du dir ganz leicht.

Odatas hat das bisher find ich am besten beschrieben,

ohne gewähr auf richtigkeit gebe ich meinen senf dazu:

wie wahrschenlichkeit 1000 mal nacheinander kopf zu werfen ist (0.5)^1000, aber der darauf folgende 1001 wurf hat wieder die wahrschenilichkeit 50:50 ob kopf oder zahl.

wie denkst du sonst kann man (0.5)^1000 rechnen, wenn es denn nicht immer 50:50 wäre?

das ist so: ein laplace-experiment(oder wie das auch wieder heißen mag), ist eines, bei dem jedes ereignis gleichwahrscheinlich vorkommt. beim münzwurf (vereinfacht, also keine kante als mögliches ergebnis) ist das der fall. damit ist die chance 50:50

nun verkettet man dieses laplace-experiment und erhält ein weiteres la-place experiment.

beispielsweise für 2 münzwürfe:

die ereignisse, die passieren können sind { (kopf,kopf) , (kopf,zahl), (zahl,kopf) , (zahl,zahl) }

das sind alle möglichen versuchsergebnisse... diese ereignisse haben auch wieder dieselbe wahrschenilichkeit, da wir ein laplace-experiment verkettet haben.

jedes versuchsergebnis hat demnach eine wahrscheinlichkeit von 25%, da es 4 ereignisse gibt.

bei 1000 würfen hat dann jedes ereignis (auch 1000 mal kopf) die wahrscheinlichkeit (0.5)^1000 (1000 einzelne experimente verkettet mit jeweils wahrscheinlichkeit 50:50)

der 1001 wurf bietet dann ergebnisse mit einer wahrscheinlichkeit von (0.5)^1001, und das eben deshalb, weil das zusätzliche werfen wieder eine wahrscheinlichkeit von 0.5 hat.

was ich nun dazu sagen möchte ist, dass sowohl 1000 kopf + 1 zahl und 1001 kopf gleich-wahrscheinlich sind... aber auch 100 kopf + 901 zahl und alle anderen auch. der punkt ist dass wir uns bei 1001 wild durcheinander geworfenen ereignissen nicht merken können oder nicht auf einmal erfassen können, was eigentlich passiert ist, aber falls es 1000 mal kopf war, dann können wir das doch ! deswegen reden wir menschen uns sein, dass dies etwas besonderes sei, weil es uns aufgefallen ist. in der tat ist es aber genau so gewöhnlich wie abwechselnd kopf und zahl zu werfen oder andere ereignisse.

der 1001 wurf hat chance 50:50

nun zum deinem gesetz der großen zahlen, welches du beschrieben hast.

unendlich ist keine zahl, sondern eher eine situation, die nicht erreicht werden kann.

dennoch können wir aussagen darüber treffen, wenn wir etwas unendlich oft machen.

warum sich das verhöltnis der geworfenen ergebnisse der wahrscheinlichkeit annähert weiß ich nicht, aber das gilt nur für die unendlichkeit, also für einen unerreichbaren zustand. wir können dadurch nur aussagen, dass etwas sich annähert, aber nicht wann es wie stark angenähert hat.

anschauung zur unendlichkeit:

zu jeder reellen zahl in der mathematik gibt es eine natürliche zahl, welche größer ist. mit anderen worte, keine zahl ist die größte zahl.

nun selbst wenn du 100000000 mal kopf geworfen hast, bleiben noch (weil keine zahl die größte ist) 1000000000 weitere ergebnisse um den annäherungsprozess voranzuschreiten und danach nochmal 100000000 würfe, und dann wieder.. und dann wieder... und dann wieder.....

man spricht in der mathematik von "fast alle", wenn man meint; "alle außer endlich viele ausnahmen". der annäherungsprozess ist "vollendet" wenn fast alle zahlen beliebig nahe am wert, der angenähert wird, sind.

streng mathematisch formuliert:

für alle epsilon>0 (griechischer buchstabe) gibt es hier einen münzwurf, ab dem für alle weiteren (das davor waren die endlich vielen ausnahmen) das verhältnis der ergebnisse nur um epsilon von der wahrscheinlichkeit abweicht. epsilon wird dabei beliebig klein(da gilt: "für alle epsilon...", also auch beliebig kleine)

nun jede zahl, die es gibt ist endlich, denn unendlich ist keine zahl, damit hast du das gesetz der großen zahlen erst dann widerlegt, wenn du unendlich oft eine münze geworfen hast, alles was im endlichen rahmen ist, zählt als "endlich viele ausnahmen".

die wahrscheinclihkeit wird eben nicht in einer bestimmten geschwindigkeit angenähert... man kann dies nicht berechnen, es ist ja zufall!. aber das verhältnis nähert sich früher oder später der wahrscheinlichkeit an, und das obwohl die chance immer 50:50 beträgt.

du kannst ein gleichseitiges dreieck konstruieren. dies hat dann einen 60° winkel.

aus diesem 60° winkel kannst du durch 2maliges halbieren des winkels einen 15° winkel erstellen.

15° und 60° ergeben schließlich 75°

gäbe es symmetrie zur x-achse (bei reellen funktionen), so gäbe es zu einem x-wert mehrere y-werte, und das widerspricht der eindeutigen zuordnung einer funktion.

ein x-wert bekommt genau einen y-wert (auf der definitionsmenge)

hoch und tief punkte... das sind alle extrempunkte.

f ' (x) = 0 muss also gelten.

dann erhälst du das x in abhängigkeit vom schar-parameter (ich nehme dafür " k " ) also erhälst du x(k) (x in abhöngigkeit von k)

auflösen kannst du das nach k, dann erhälst du k(x) (k in abhängigkeit von x)

das kannst du dann einsetzen in f (x) (ursprungsfunktion) und erhälst die funktion der ortskurve der extremstellen.

da du die information k(x), die sichertellt, dass extremstelle vorliegt einsetzt, liefert die funktion eben die ortskurve der der extremstellen. und da du t durch x ausgedrückt hast, hängt die funktion nicht von x ab, sondern vom scharparameter t ab, aber ausgedrückt durch x.

deine funktion lautete: x^3 - 12t^2x

ableiten liefert 3x^2-12t^2

nullsetzen liefert: x^2 = 4t^2

achtung beim wurzelziehen !!! betrag nicht vergessen

|x| = 2|t| (war dein t eingeschränkt auf t>0 ? sonst wirds unschön (fallunterscheidung))

|t| = |x| / 2

da wir dies in die ursürungsgleichung einsetzen, in der t^2 vorkommt, brauchen wir uns um die vorzeichen nicht zu sorgen, also auch nicht um den betrag.

ortskurve(x) = x^3 - 12 (x^2 / 4) x = x^3 - 3x^3 = -2x^3.

es ist zwar wirklich nicht zu empfehlen aber funktionieren tut es. die saite spielt sich anders... das fühlt sich einfach anders an, und klingt auch anders, aber alles in einem funktioniert das, und ihchab das auch schon oft gemacht.

falls du ne e-gitarre hast und nen verzerrer an hast und die saite schon ein wenig eingespielt ist, dann kann man den unterschied eigentlich nur noch fühlen (an den fingern), aber nicht mehr hören.

ich hab auchschonmal ne E-saite als A-saite verwendet und das fand ich vomklang sogar sehr cool, da die powerchords sich noch kräftiger angehört haben (die quinte sticht mehr heraus, ohne die der powerchord nunmal kein powerchord wäre)