Der Normalenvektor der Ebene lautet n=(3,-2,1), und Offset d = 9
A=(2,1,4)
Abstand AE = |(2*n1 + 1*n2 + 4*n3 - d)/Länge(n)|
|(2*3+1*(-2)+4*1 - 9)/sqrt(14)| ~ 0.267
Dein Ergebnis stimmt.
Weil mich die Frage interessiert, habe ich ein Programm geschrieben, welche alle Fälle analysiert. Die Software kommt auf 1092 Möglichkeiten. Vorausgesetzt, dass immer alle vier grüne, blaue, rote Perlen verwendet werden müssen.
Für jede erste Farbe kommt man somit auf 1092/3 = 364 Möglichkeiten.
Nach jeder Farbe gibt es nur zwei Möglichkeiten der Fortsetzung. Kombinatorik ist trotzdem schwierig, weil je nach vorheriger Farbwahl die Perlen entsprechender Farbe für den Rest der Kette fehlen.
Eine Formel habe ich bisher nicht gefunden. Zumindestens kann man das Ergebnis 1092 zur Überprüfung einer Formel verwenden.
Die Stammfunktion von sin(m*x)*sin(n*x) lautet
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Fall 1: n = m; n,m € N
Daraus folgt für das bestimmte Integral über [-π,+π]
Wegen sin(2*n*π) = 0 ergibt das Integral immer +π
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Fall 2: n != m; n,m € N
Wegen sin(n*π) = 0, ist auch das Integral immer Null.
Den Ursprung des Koordinatensystems legt man auf die Mitte der Fahrbahn. Daraus folgt der Ansatz f(x) = a*x² + b
f(0) = 5 (Scheitel)
f(-60) = 35 (Pylon links)
f(+60) = 35 (Pylon rechts)
Die Aufgabe ist schlecht formuliert. Was genau soll die Spannweite sein? Oft bezeichnet man damit auch den Abstand zweier benachbarter Brückenpfeiler.
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f(0) = b = 5
f(+60) = a*60² + 5 = 35 --> a = 1/120
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f(x) = x²/120 + 5
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Länge der Hängeseile:
Geht man davon aus, dass sich an den Pylonen Hängeseile befinden, dann nehmen die 10 Seile einen Abstand von 120/9 ein. Auch hier ist die Aufgabe schlecht formuliert, denn würde sich ein Hängeseil in der Mitte befinden (wie in der Aufgabe dargestellt), wäre die Anzahl der Seile ungerade. An dieser Unklarheit scheitert die richtige Lösung.
Unter den Annahmen ergeben sich die Längen zu
f(-60 + k*120/9) für k = {0,1,2...,9}
Die Länge des Hauptseils kann man mit dem Pythagoras abschätzen. Die einzelnen Strecken sind die Hypothenusen von rechwinkligen Dreiecken. Alle Dreiecke haben die gleiche Breite von 120/9 und die Höhe zweier benachbarter Punkte x1 und x2 beträgt f(x2) - f(x1).
Weil die Parabel symmetrisch zur y-Achse verläuft, reicht es in beiden Fällen nur den rechten Teil der Brücke zu berechnen.
Deine Frage zielt vermutlich auf das Fischlogo ab und ist generell nicht zu beantworten. Das bestimmte Integral von f(x) wird landläufig als "Fläche zwischen f(x) und der x-Achse" definiert. Das ist nur dann richtig, wenn im Integrationsintervall f(x) >= 0 gilt oder der Betrag von f(x) integriert wird.
Gibt es auch negative Anteile von f(x), gehen diese negativ in das Gesamtergebnis ein, und das Ergebnis hat mit der Fläche nichts mehr zu tun.
Aus diesem Grund ist es beim Integrieren manchmal nötig, erst die Nullstellen von f(x) zu finden, um negative und positive Funktionanteile absolut addieren zu können (falls man eine Fläche berechnen will).
Beispiel Fischlogo:
Integral f(x) dx über [-5,-4] = -13/24
Integral f(x) dx über [-4,+4] = +32/3
Integral f(x) dx über [+4,+5] = -13/24
Integral g(x) dx über [-5,-4] = +13/16
Integral g(x) dx über [-4,+4] = -16
Integral g(x) dx über [+4,+5] = +13/16
Zusammen ergibt das eine Fläche von |-13/24| + 32/3 + |-13/24| + 13/16 + |-16| + 13/16 = 235/8
Stattdessen könnte man auch den Betrag der Differenzfunktion f(x)-g(x) über das Intervall [-5,+5] integrieren. Das ist aber umständlicher, weil die Stammfunktion von |f(x)-g(x)| nur schwer zu ermitteln ist.
Aufgrund der Dichtefunktion von X gilt
µ = a/2 = 5000
σ = a/sqrt(24) = 10000/sqrt(24)
Z-Verteilung:
p(Z <= 4500) = (4500-µ)/σ ~ -0.244948974278318
φ(-0.244948974278318) ~ 0.403
Auch wenn der Begriff es vermuten lässt: Funktionen "funktionieren" nicht, sondern sind eine Vorschrift, welche Rechenoperationen mit einem Argument x durchgeführt werden sollen.
Angenommen x soll verdoppelt werden, dann schreibt man f(x) = 2*x.
Das Funktionsargument x wird verdoppelt, und das Ergebnis ergibt den Funktionswert y = f(x) = 2*x.
Beispiel: x = 10 --> y = f(10) = 2*10 = 20.
f(x) = 2*x ist bereits eine lineare Funktion. Linear deshalb, weil das Argument x ohne Potenzen wie z.B. x² oder x³ vorkommt. Man könnte höchstens noch eine Konstante addieren, z.B.
f(x) = 2*x + 3
Jetzt wird aus x = 10 ein y = f(10) = 2*10 + 3 = 23.
Die allgemeine lineare Funktion sieht so aus:
f(x) = a*x + b, wobei a und b konstante Werte sind.
a nennt man auch "Steigung" und b ist die Stelle, an welcher der Graph von f(x) die y-Achse schneidet, denn
f(0) = a*0 + b = b
Am folgenden Graphen von f(x) = 2*x + 3 lässt sich ein weiterer Grund für die Bezeichnung "linear" erkennen. Solche Funktionen stellen sich immer als Geraden dar.
Abstand ES = sqrt(150)
Abstand FS = sqrt(150)
Deshalb handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.
Flächenformel für gleichschenkliges Dreieck:
Fläche EFS = 1/4*c*sqrt(4*a²-c²)
mit a = sqrt(150) (Schenkellänge) und c = Abstand EF = 10 (Basis)
1/4*10*sqrt(4*150-100) ~ 55.9 m²
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Die Flächenformel für gleichschenklige Dreiecke ist eine Vereinfachung der üblichen Formel 1/2*Basis*Höhe. Die Höhe des Dreiecks lässt sich beim gleichschenkligen Dreieck aus der Länge der Schenkel über den Pythagoras herleiten: Höhe² + (Basis/2)² = Schenkel². Anstatt erst die Höhe zu berechnen, setzt man einfach diese Beziehung in die übliche Formel ein.
Natürlich lässt sich die Fläche von EFS auch über die Höhe des Dreiecks berechnen. Die Mitte zwischen E und F hat die Koordinaten M = (E+F)/2 = (10,5,20). Der Abstand MS beträgt ~11.18 und damit Fläche ~ 11.18*10/2 ~ 55.9 m²
alle Folgenglieder haben den gleichen Abstand a(n+1) - a(n) = const
alle Folgenglieder haben das gleiche Verhältnis a(n+1) / a(n) = const
gleichzeitig gilt das nur für a(n) = const für alle n
Eine stabile Verteilung (x,y,z) ergibt sich unter der Bedingung:
| 0.1 a 0.5 | |x| |x|
| 0.4 b 0.3 | * |y| = |y|
| 0.5 c 0.2 | |z| |z|
Das führt zu folgendem GLS:
0.1*x + a*y + 0.5*z = x
0.4*x + b*y + 0.3*z = y
0.5*x + c*y + 0.2*z = z
a+b+c=1
Lösung:
a = (9x-5z)/(10y)
b = - (4x-10y+3z)/(10y)
c = (8z-5x)/(10y)
a)
Es soll gelten x, y = x, z = x:
Werte in die obigen Lösungen einsetzen:
a = (9x-5x)/(10x) = 0.4
b = - (4x-10x+3x)/(10x) = 0.3
c = (8x-5x)/(10x) = 0.3
b)
Es soll gelten x, y = 2x, z = x:
Werte in die obigen Lösungen einsetzen:
a = (9x-5x)/(20x) = 0.2
b = - (4x-20x+3x)/(20x) = 0.65
c = (8x-5x)/(20x) = 0.15
a)
Am Graphen f kann man folgende Werte ablesen:
f(0) = 2, f(-4) = 0, f(4) = 0
Diese Gleichungen erfüllt f(x). Ausserdem kann eine quadratische Funktion höchstens zwei Nullstellen haben.
b)
g hat dieselben Nullstellen wie f. Erster Ansatz:
g(x) = a*(x+4)*(x-4)
Ausserdem gilt:
g(0) = a*(-16) = -3
Daraus folgt: a = 3/16
g(x) = 3/16*(x+4)*(x-4) = 3/16*x² - 3
Die Zissoide des Diokles ist die Funktion
Siehe rote Kurve. Diese Funktion hat den Definitionsbereich [0,2a), denn bei x = 2a liegt eine Asymptote, und den Wertebereich [0,+∞]. Nimmt man den negativen Anteil dazu, den Wertebereich [-∞,+∞]
Die Besonderheit dieser Funktion: für jede Gerade durch S gilt Abstand(SP) = Abstand (KA). Der Punkt K ergibt sich aus dem Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden. Ansonsten hat der Kreis bis auf den Radius a mit der Funktion nichts zu tun.
Wird eine diskrete Verteilung mit der Normalverteilung angenähert und ein Konfidenzintervall berechnet, bleibt streng genommen nichts anderes übrig, das Intervall mit den gewählten diskreten Grenzen und der diskreten Verteilung nachzurechnen. Nur so kann man prüfen, ob das Konfidenzintervall immer noch die Vorgaben erfüllt. Das ist aber nicht immer möglich, denn sonst hätte man die Normalverteilung nicht bemüht. In diesem Fall ist folgendes zu unterscheiden:
(I) Soll: p( a <= X <= b) < α
(II) Soll: p( a <= X <= b) > α
Im Fall (I) ist man auf der sicheren Seite, wenn a vergrössert und b verkleinert wird.
Im Fall (II) ist man auf der sicheren Seite, wenn a verkleinert und b vergrössert wird.
Will man den Bruch a/b mit z.B. 2 kürzen, dann betrifft das sowohl den Zähler als auch den Nenner:
konkret:
a)
Die Halbwertszeit erhält man durch den Ansatz
0.87^x = 0.5
Lösung:
ln ( 0.87^x ) = ln ( 0.5 )
x*ln ( 0.87 ) = ln ( 0.5 )
x = ln ( 0.5 ) / ln ( 0.87 ) ~ 4.97729 Jahre
Bedeutung: innerhalb von ca. 5 Jahren sinkt die Wachstumsgeschwindigkeit um die Hälte.
b)
f(10) = 90*0.87^10 ~ 22.36 cm
c)
Ansatz:
90*0.87^x = 50
Lösung:
ln( 90*0.87^x ) = ln ( 50 )
ln( 90) + ln( 0.87^x ) = ln ( 50 )
ln( 90) + x*ln( 0.87 ) = ln ( 50 )
x = (ln (50) - ln(90))/ln(0.87) ~ 4.22072 Jahre
d)
F(x)= -90/(ln(100)-ln(87)) * 0.87^x + C
e)
F(10) - F(0) ~ 485.72 cm
Bedeutung: innerhalb von ca. 10 Jahren ist der Baum um 485.71 cm gewachsen zusätzlich der 90 cm am Anfang.
f)
F(20) - F(0) ~ 606.38 + 90 cm
g)
(F(20) - F(0) ) / 20 ~ 32.76 cm / Jahr
Ökonomisch: die 30 GE sind fixe und die 4.2 GE variable Herstellungskosten.
Mathematisch: die Herstellungskosten verlaufen linear mit einer Steigung von 4.2 und einem Offset von 30.
Fläche des kleines Dreiecks: A(h,g) = 1/2*g*h
Für die Hypothenuse x gilt: g²+h² = x²
x = 21 - g
Daraus folgt:
g²+h² = (21-g)²
Umstellen:
h² + 42g - 441 = 0
Daraus folgt für g:
g = 21/2 - h²/42
g in A(h,g) einsetzen:
A(h,g) = 1/2*(21/2 - h²/42)*h
A ist jetzt nur noch von h abhängig:
A(h) = 21/4*h - h³/84
A'(h) = 21/4 - h²/28
A'(h) = 0 für h = 7*sqrt(3) ~ 12.12 cm
Das ist ein Maximum, denn A''(7*sqrt(3)) < 0
Man muss also die obere linke Ecke so auf die Blattunterkante ziehen, sodass die Ecke ~ 12.12 cm von linken Blattrand entfernt liegt.
Die Gerade durch B und C lautet:
g(r) = B + r*(C-B) = (5,3) + r*(-3,5)
Eine dazu senkrechte Gerade durch den Punkt A lautet
h(s) = A + s*(N)
Der Richtungsvektor N = (nx,ny) steht senkrecht auf dem Richtungsvektor von g Deshalb muss gelten:
-3*nx + 5*ny = 0
Das ist z.B. für nx=5 und ny=3 der Fall.
h(s) = (0,1) + s*(5,3)
Schnittpunkt von g und h:
g(r) = h(s)
5 - 3r = 0 + 5s
3 + 5r = 1 + 3s
Lösung r = 5/34, s = 31/34
A' = g(5/34) ~ (4.56, 3.74 )
Die Fläche des Dreiecks ist dann (Abstand BC)*(Abstand AA')*1/2 = 15.5
Die Fläche lässt sich auch einfacher berechnen. Diese ist das Kreuzprodukt der Vektoren von A nach B und von A nach C:
1/2*(B-A)x(C-A) = 1/2*(5,2)x(2,7) = 1/2*(35 - 4) = 1/2*31 = 15.5
Nullstellen:
f(x) = (2x-2)*e^(-x/4) = 0
Weil die e-Funktion keine Nullstellen aufweist, gibt es eine Nullstelle nur für
(2x-2) = 0 --> x = 1
Extrema:
(Produktregel anwenden):
f'(x) = -1/2 * (x-5) * e^(-x/4)
f''(x) = 1/8 * (x-9) * e^(-x/4)
f'''(x) = -1/32 * (x-13) * e^(-x/4)
f'(x) = 0 für x = 5
Das ist ein Maximum, denn f''(5) < 0
Wendestellen:
f''(x) = 0 für x = 9
Das ist eine Wendestelle, denn f'''(9) != 0
Die angegebene Lösung ist falsch. Das erste Flugzeug befindet sich nach 20 s bei
(365, 2, 11000) + 20 * (-169, -7, -180) = (-3015, -138, 7400)
Das zweite Flugzeug befindet sich nach 20 s bei
(305, 0.5, 14300) + 20 * (-82.8, -3.45, -200) = (-1351, -68.5, 10300)
Der Abstand der beiden Punkte (Abstandsformel) beträgt ~ 3344.2078658
Und für t = 0: ~ 3300.54576