Ist es datenschutzrechtlich problematisch, Informationen zu meiner Bewerbung von der Polizei an einen Freund weiterzuleiten um ihn darüber zu informieren?

Solange du nur deine eigenen persönlichen Daten aus deiner Bewerbung weiterleitest, kein Thema. Das darfst du selbst entscheiden wem du was zu Verfügung stellt.

Aber in dem Moment wo du persönliche Daten der Polizei, die nicht öffentlich kommuniziert werden (Namen, Telefonnummern, Mailadressen, etc.), aus einem Antwortschreiben auf deine Bewerbung weiterleitest, machst du dich sehr wahrscheinlich angreifbar gemäß DSGVO.

Sollten die Daten von Dritten zweckentfremdet werden (wissentlich oder unwissentlich), und man das zu dir zurückverfolgen kann als Herausgeber, dann kann das juristische Folgen haben. Die Wahrscheinlichkeit ist aber gering, dass dahingehend was passiert.