zu a) Bei einem Dreieck werden die Seiten typischerweise mit a, b und c bezeichnet. Die Eckpunkte werden mit A, B, C so beschriftet, dass sich A und a gegenüberliegen, außerdem B und b sowie C und c. Die Winkel Alpha, Beta und Gamma sind die Innenwinkel an den Ecken A, B und C.

zu c) Um b und c aus A und Beta auszurechnen, schreibt man die Definitionen von Sinus und Cosinus hin. Weil es ein rechtwinkliges Dreieck ist, geht das ganz direkt. ("Sinus gleich Gegenkathete durch Hypotenuse". "Cosinus gleich Ankathete durch Hypotenuse").
Dann kleines Umstellen, einsetzen, fertig.

zu d) Die Flächenformel für Dreiecke ist "Grundseite mal Höhe durch 2". In einem rechtwinkligen Dreieck ist das besonders einfach, weil die Höhe mit einer Seite zusammenfällt. ;o)

Nehmen wir mal die 28.000 km/h aus der ersten Antwort. Das ist ungefähr die Geschwindigkeit, mit der die ISS um die Erde kreist.

Man muss dann den Gamma-Faktor ausrechnen:
gamma = 1/sqrt(1-(v/c)^2) = 1,000000000336077 = 1+epsilon
Das ist der Faktor, um den die ruhende Uhr gegenüber der bewegten Uhr langsamer geht. Wenn der Unterschied nun eine Sekunde betragen soll, ist das nun 1/epsilon = 2.975.000.000 Sekunden. Das sind etwa 94,3 Jahre.

Wenn man ein normales Verkehrsflugzeug mit 900 km/h zugrunde legt, kommt man auf 91.264 Jahre.

Bei b) muss tatsächlich das Integral von 0 bis 120 (Minuten) über f bestimmt werden, da f ja den Zustrom, d.h. die Ableitung der „Personenzahlfunktion“ beschreibt.
Das geht mit partieller Integration, wobei 20x den abzuleitenden und die e-Funktion den zu integrierenden Faktor darstellt.

c) ist dann einfach der Wert von b) (alle Zuschauer) geteilt durch 120 (Minuten).

Der Begriff “Wertemenge” kommt im Zusammenhang mit Funktionen vor.
Funktionen ordnen gegebenen Zahlen x je einen Wert y zu.
Der Bereich, aus dem die gegebenen Zahlen x stammen, heißt Definitionsbereich. Der Bereich der Zahlen, die von f “getroffen” werden, heißt Wertebereich.

Beispiel 1:
f(x) = x^2
Definitionsbereich: alle reellen Zahlen
Wertebereich: alle positiven reellen Zahlen. (Negative Zahlen kommen als Wert nicht vor.)

Beispiel 2:
f(x) = sin(x)
Definitionsbereich: alle reellen Zahlen
Wertebereich: Das abgeschlossene Intervall von -1 bis 1

Beispiel 3:
f(x) = 1/x
Definitionsbereich: alle reellen Zahlen außer null
Wertebereich: alle reellen Zahlen außer null

Das Baumdiagramm zeigt Schritt für Schritt, was passiert: Vom Startpunkt aus können im ersten Schritt drei verschiedene Ereignisse passieren (Buchstabe S, L oder O wird gezogen). Also drei Linien, jeweils vom Startpunkt aus zu drei neuen Punkten.
Von diesen Punkten aus können im zweiten Schritt wieder je drei Ereignisse passieren, weil nach dem ersten Zug die Karte zurückgelegt wird. so gehen von den ersten drei gewonnenen Punkten wieder je drei Linien aus zu je drei neuen Punkten, so dass nach dem zweiten Schritt neun neue Punkte hinzugekommen sind.
Der dritte und letzte Schritt läuft noch einmal so; von den neun Punkten des zweiten Schrittes jeweils drei neue Linien zu insgesamt 27 Punkten. Baum fertig.
Nun kann man an alle Linien jeweils die Wahrscheinlichkeit schreiben, mit der das jeweilige Ereignis eintritt: ein L oder S zu ziehen, hat jeweils die Wahrscheinlichkeit 1/4. Für das O ist die Wahrscheinlichkeit 1/2 weil das O auf zwei von vier Karten vorkommt (so verstehe ich die Aufgabe).
Nun kann man die Wahrscheinlichkeit für das eine bestimmte Abfolge (hier: das Wort LOS) dadurch berechnen, dass man vom Startpunkt des Baumes längs der gesuchten Linien geht (also den Pfad vom Startpunkt zum richtigen der 27 Blätter) und die daran stehenden Wahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert.
Heraus kommt p = 1/4 * 1/2 * 1/4 = 1/32.

Gegeben ist eine Ableitung f’ und die Frage ist, was man daraus für die Wendestellen für die eigentliche Funktion schließen kann.
Die Wendestellen einer Funktion f sind die Nullstellen der zweiten Ableitung f’’.
Dies sind aber auch genau die Extremstellen der Ableitung f’.
Das heißt, die Ursprungsfunktion f hat dort ihre Wendestellen, wo die gegebene Ableitung f’ ihre Extremstellen hat. Und das ist (nach Augenmaß) bei x=-1,4 der Fall.

In deiner Rechnung ist die innere Ableitung noch nicht richtig.
Ich schreibe mal s für sigma und m für “mü”.
Für die innere Ableitung muss der Exponent, also -1/2 ((x-m)/s)^2 abgeleitet werden.
Dies kann man auf zwei Weisen machen: Entweder man multipliziert vorher das Quadrat aus zu (-1/(2 s^2)) (x^2 - 2m + m^2) oder man wendet noch einmal die Kettenregel an. Wenn man das dann ableitet, kommt in beiden Fällen für die innere Ableitung des gesamten Terms -1/s^2 * (x-m) heraus.
In deiner Rechnung fehlt also ein Faktor (x-m)/s, sonst ist alle richtig.

Nach der dritten binomischen Formel gilt
f’(x) = 3x^2 - t^2 = (sqrt(3) x + t)(sqrt(3) x - t)
f’(x) ist null, wenn einer der beiden Faktoren null ist.
Daraus hat man sofort x = -t/sqrt(3) und x = +t/sqrt(3) als Nullstellen.

Ohne Einschränkung kann die 1 als fix angenommen werden.
Die fünf Nachbarfelder der 1 entsprechen jeweils einem der Paare (2,11), (3,10), (4,9), (5,8) und (6,7).
Ohne Einschränkung kann das Paar (2,11) auf einem festen Feld angenommen werden, dann können die anderen Paare in 4! = 24 Weisen angeordnet werden.
Zuletzt muss für jedes der fünf Paare festgelegt werden, welche Zahl oben liegt. Das geht auf 2^5 = 32 Weisen. So komme ich auf insgesamt 4! * 2^5 = 768 Möglichkeiten.
Ist das die richtige Lösung?