Entweder, du zählst es an der Klaviertastatur ab, oder du lernst auswendig, bei welchen Stammtönen die großen Terzen liegen, die anderen sind dann kleine Terzen.
C-E groß
D-F klein
E-G klein
F-A groß
G-H groß
A-C klein
H-D klein

Das ist der Jimi Hendrix Akkord.
Hier stehen ein paar Infos.
Die Bluenote (kleine Terz bzw. übermäßige None) reibt sich mit der Dur-Terz, er klingt sehr dirty und blue.

Wie Baucolo sagt, folgt auf die Tonart e-moll G-Dur. Der Punkt, wo die neue Tonart etabliert wird, ist Zählzeit 3 vom 5. Takt, der Sekundakkord.

Der Quintsextakkord am Ende der 1. Zeile ist eine Zwischendominante zu C-Dur, aber der C-Dur folgt nicht, sondern stattdessen ein E-Dur-Dreiklang als Sextakkord. Das nennt man eine Ellipse, wenn die erwartete Auflösung ausbleibt. C-Dur ist in e-moll tG, das wird in eckige Klammern gesetzt [tG].

Beim Sekundakkord im zweiten Bild wird die Tonart D-Dur eingeleitet.

Ich hoffe, ich konnte etwas weiterhelfen.

Der mit Bleistift geschriebene Akkord ist ein B-Dur-Dreiklang in der ersten Umkehrung (Sextakkord).

Eine vollständige Kadenz hat die Funktionsfolge Tonika, Subdominante, Dominante, Tonika. Nicht alle Akkorde der Tonart, nur die Stufen I, IV, V, I, in dieser Reihenfolge.

In Moll sind die Akkorde der Tonika und der Subdominante Molldreiklänge.
Bei der Dominante wird allerdings ein Versetzungszeichen hinzugefügt so dass daraus ein Durdreiklang wird. Die V. Stufe in d-moll-Kadenz ist also nicht a-moll, sondern A-Dur (C wird zu Cis erhöht).

Bei der Seite utheory gibt es ganz interessante Übungen zum Melodiediktat.
Generell solltest du nicht nur von Intervall zu Intervall und von Ton zu Ton hören, sondern dir bereits gespielte Töne merken, so dass du merkst, wenn einer davon wieder vorkommt, oder auch dessen Nachbarton. Auch wäre es gut ein Gefühl für die Tonart zu bekommen, also den Grundton oder Töne der Tonika zu wissen und sich zu merken. Oft wird ja vor dem Diktat eine Kadenz gespielt, damit man am Anfang schon orientiert ist.

Einen Halbtonschritt kleiner als klein oder rein nennt man vermindert, einen Halbtonschritt größer als groß oder rein übermäßig.
Dein Intervall-Beispiel ist eine verminderte Sexte, wie Willy1729 sagt.
Dementsprechend sind übrigens 6 Halbtonschritte entweder eine übermäßige Quarte oder eine verminderte Quinte. Der Begriff Tritonus wird oft für beide Varianten angewendet, obwohl er im strengen Wortsinn "drei Ganztöne" eigentlich speziell die übermäßige Quarte meint.

Der Approach ist eine Nebennote, ein vorab gespielter Ton, der zu einem nachher gespielten Zielton führt. Am häufigsten ist der "chromatic approach", dann sind die Töne nur einen Halbtonschritt auseinander (leittönig). Das Prinzip kann auf einen Akkord übertragen werden, dann findet eine Rückung um einen Halbton bei allen Akkordtönen statt (Approach chord).

Das leuchtet mir nicht ein, dass dein Notenbeispiel komplett mixolydisch sein soll. Es endet ja mit einem maj7-Akkord. In einem Standard-Bluesschema, wo die ganze Zeit nur Dur-Septakkorde mit kleiner Septime gespielt werden, macht es Sinn, weil die mixolydische Skala mit der kleine Septime dazu passt.

Wie sehr wir Dur als fröhlich und Moll als traurig empfinden hängt sehr stark damit zusammen, wie vertraut wir mit der westlichen dur-moll-tonalen Musik sind, die es ja auch erst seit ca. 500 Jahren gibt.

https://science.orf.at/stories/3213856/

"Anders sah es bei den Gemeinschaften aus, die bis zum Experiment kaum Erfahrung mit nicht traditioneller Musik [also Musik aus unserer westlichen Kultur] hatten. Die Ergebnisse in dieser Gruppe sind nicht eindeutig. Wir können also nicht genau sagen, ob für diese Personen Dur- oder Moll-Akkorde fröhlicher klingen und welche Tonhöhen sie bevorzugen."

Der Dur-Dreiklang hat physikalisch gesehen einen etwas höheren Verschmelzungsgrad als der Molldreiklang, aber das allein reicht nicht aus für eine eindeutige Zuordnung zu Emotionen. Also ist es vor allem erlernt.

Das ist ein Lamentobass, mit der Besonderheit, dass durch die Einführung von Dis statt D ein übermäßiger Sextakkord entsteht, oder funktionstheoretisch ein doppeldominantischer verkürzter Dominantseptakkord mit tiefalterierter Quint. Im englischsprachigen Raum ist er auch bekannt als "Italian Sixth Chord".
Das Lamento ist ein musikalischer Topos und steht für Trauer und Klagelied.
Es sind viele Variationen möglich, z.B. durch Chromatik oder Vorhalte.

Ich würde selbrgschraubt recht geben, dass es verwirrend ist, wenn beim Tonartwechsel 2 Generalvorzeichen B und Es angezeigt werden, aber bis zum nächsten Tonartwechsel weder ein B noch ein Es vorkommen (alles aufgelöst). Die Tonart ist C-Dur, deswegen sollte die Tonart zu "gar keine Vorzeichen" wechseln. Dann sind auch keine Auflösungszeichen nötig.
Ob das Stück gut komponiert ist, ist eine andere Frage. Toll, dass du es ausprobiert hast, und es klingt einiges ganz schön. Es sind allerdings 3 Bruchstücke (Takt 1-13, Takt 14-17 und Takt 18-21) von ganz unterschiedlicher Art, bei denen nicht ganz klar ist, warum sie aufeinander folgen. Wenn ein längeres Stück ständig alle paar Takte überraschend völlig anders weitergeht, ist das eher ermüdend. Versuche vielleicht lieber eine einzige Idee wirklich sorgfältig auszuarbeiten und erstmal in einer Tonart zu bleiben, und einen sinnvollen Schluss zu komponieren.

Bei der Bestimmung des Intervallnamens zählst du den 1. Ton mit (Inklusivzählsystem bei der Grobbestimmung), also ist die Terz unter dem Stammton A auf jeden Fall der Stammton F (A G F).
Bei der Feinbestimmung, also welchen Abstand in Halbtonschritten die beiden Töne haben, ist es wie beim Messen mit einem Lineal: du misst den Abstand, es geht also bei null los, du zählst den ersten Ton nicht mit. Eine große Terz hat 4 Halbtonschritte Abstand, also A-Gis-G-Fis.
Das ist wichtig sich zu merken, wann der 1. Ton mitgezählt wird und wann nicht.

Jazzharmonik wird dir bei der Analyse von Songs auch helfen. Also welche Erweiterungen möglich sind bis hin zu Slash-Chords, Tritonus-Substitut, Backdoor-Progression, das kann auch eine gute Erklärung für überraschende Akkorde sein.

Generell auch wichtig für das harmonische Verständnis sind Satzmodelle/Sequenzen: Quintfallsequenz und Parallelismus sind die beiden wichtigsten.

Beim 5. Ton H würde ich meistens die I. Stufe E-Dur nehmen. Eine Quinte zwischen Oberstimme und Bass ist normalerweise schöner als eine Oktave, die mehr für den Schluss vorbehalten ist. Und wie du richtig schreibst: nach der Dominante darf keine Subdominante folgen, nach der Tonika stehen beide Möglichkeiten offen (Subdominante oder Dominante).
Im 7. Takt gibt es ein paar Gründe, doch mal die V. Stufe zu nehmen: Für die Abwechslung (vorher war schon ein ganzer Takt der Ton H mit der I. Stufe), und es folgt in der Melodie der Ton A, der besser in die V. Stufe passt als in die I. Stufe.
Das A ist die Dominantseptim, die V. Stufe kann zum Dominantseptakkord erweitert werden. Generell kann deswegen beim 4. Ton A auch die V. Stufe H-Dur verwendet werden.
Wenn du die II. Stufe (und die hinzugefügte Sexte bei der IV. Stufe u.ä.) rauslässt, gibt es übrigens oft nur eine Möglichkeit:
2. Ton: V. Stufe, 3. Ton: I. Stufe, 6. Ton: IV. Stufe
Der Quartsextvorhalt ist natürlich auch möglich, das hast du richtig erkannt.

"Es kommt ein Schiff geladen" oder "Es war ein König in Thule" wären Lieder, deren Melodien die Töne der natürlichen Molltonleiter benutzen.
Solche etwas "archaisch" klingenden Lieder haben das natürliche Moll ohne dem Leitton.

"Ich hab die Nacht geträumet" könnte man der harmonischen Molltonleiter zuordnen.

Aber meistens sind Moll-Lieder nicht eindeutig zuzuordnen, weil z.B. der 7. Ton in der Melodie gar nicht vorkommt. Oder weil sowohl der erhöhte als auch der nicht erhöhte 7. Ton vorkommen. Und selbst wenn die Melodie eindeutig ist, können noch in der Akkordbegleitung die Töne der anderen Molltonleitern auftauchen.

Das klassische Moll ist ein Wechselspiel aller 3 Molltonleitern.

Man könnte ja auch neue Musiktheorien erfinden, um neue experimentelle Musik zu komponieren, und dann ist es definitiv wie in der Mathematik, dass man immer wieder neues entdeckt. Z.B. mikrotonale Harmonielehre dürfte endlos viele Möglichkeiten bieten.
Dass bei bestehender Musik bis zu einem festgelegtem Zeitpunkt eine Mehrheit der Experten sagen würde, die Theorien erklären alles ausreichend, ist vielleicht theoretisch möglich, aber davon sind wir noch weit entfernt.

Ich finde den Ansatz mit dem Tritonus-Substitut trotzdem sinnvoll, das Thema ist ja insgesamt in C-Dur. Du kannst die beiden Akkorde ja auch rückwärts auf den C/G beziehen.

So würde ich diese Akkordfolge in Funktionssymbolen deuten:

Der normale Doppelschlag beginnt mit der oberen Nebennote (oder nach der Hauptnote kommt als erstes die obere Nebennote), danach die untere.
Es gibt eigentlich nur eine andere Möglichkeit, nämlich das zuerst die untere Nebennote kommt, und dann die obere.
Um das anzuzeigen wird das Symbol entweder gespiegelt, durchgestrichen oder senkrecht aufgestellt.
Hier würde ich bei der unteren Nebennote vom A statt G Gis spielen.

Ich würde im 5. Takt in den 3/4-Takt wechseln, wenn du im 4/4 angefangen hast.

Auch wenn du dann vielleicht mal einen Haltebogen brauchst für einen Ton, der in einen nächsten Takt hinein reicht.