Deine Relation ist antisymmetrisch, da für alle x und y, für die sowohl x < y als auch y < x gilt, x = y folgt. Das gilt nämlich deshalb, weil überhaupt keine x und y existieren, für die gleichzeitig x < y und y < x gilt. Aber gerade, weil es die nicht gibt, können wir sagen, dass für alle (x,y), für die das gilt, die Gleichheit folgt. Die Aussage hat dann eben nur kein wirkliches Gewicht. Vergleiche das mal mit der Aussage "Wenn -5 eine Primzahl ist, dann ist die Erde eine Scheibe". Das zweite stimmt garantiert nicht, aber da das erste auch nicht stimmt, ist es egal, was dahinter noch kommt.

Das ist kaum zu erklären, da vor allem perfektoide Räume kaum dokumentiert und selbst für Professoren, die da nicht drinstecken, schwer zu verstehen sind. Einfacher zu verstehen sind perfektoide Körper (eine Art Spezialfall von perfektoiden Räumen). Grob gesagt nimmst du für einen perfektoiden Körper folgende Grundideen an:

• Du kennst von den reellen Zahlen das Assoziativ- und Kommutativgesetz bezüglich der Addition und der Multiplikation sowie das Distributivgesetz. Weiterhin kennst du (auch, wenn es immer als selbstverständlich angenommen wird) neutrale Elemente (das sind Elemente, die ein Ergebnis nicht verändern, beispielsweise ist 0 das neutrale Element der Addition, denn a+0=a für jede reelle Zahl a und 1 ist das neutrale Element der Multiplikation, denn a*1=a für jede reelle Zahl a). Weiterhin kennst du inverse Elemente, das sind Zahlen, die du auf gegebene Zahlen dazurechnest, um das neutrale Element bezüglich dieser Operation zu erhalten (ist a eine reelle Zahl, so ist -a invers zu a bezüglich +, denn a+(-a) = 0 und 1/a ist invers zu a bezüglich *, denn a*(1/a) = 1. Eine Ausnahme bildet a = 0, also gerade das neutrale Element der Addition, für dieses existiert kein multiplikativ inverses Element). Nimm dir jetzt eine Menge K, die irgendwie aussehen kann (z.B. könnte K nur die Elemente 0, 1, 3, -42 und Stuhl enthalten) und denke dir zwei Rechenarten ("Operationen") aus, die die obigen Regeln erfüllen. K nennst du mit diesen beiden Operationen dann einen Körper. Kurz gesagt sind Körper also Elemente mit zwei Rechenarten, von denen du weißt, dass sie die gängigen Rechenarten der reellen Zahlen erfüllen, von denen du aber sonst nicht weißt, wie diese Körper aussehen.
• Stell dir jetzt vor, du kannst deinen Körper K irgendwie total ordnen, das heißt, du kannst die Elemente von K irgendwie der Größe nach aufreihen (das machst du in den reellen Zahlen ja schon, da gilt zum Beispiel 3 < 4 oder 5 < 8). Diese Aufreihung kann natürlich irgendwie aussehen, wir können zum Beispiel 0 < 3 < 1 < Stuhl < -42 für unser obiges K definieren. Wir sagen, dass K nicht-archimedisch ist, wenn es bezüglich dieser Ordnung keine unendlich kleinen Elemente gibt. Mathematisch ausgedrückt heißt das, nehmen wir irgendwelche Elemente x und y, die bezüglich unserer Ordnung größer als 0 sind, soll es immer möglich sein, dass wir endlich viele Male x auf sich selbst addieren können, damit das Ergebnis größer als y ist. In den reellen Zahlen geht das, denn egal wie klein x und egal wie groß y ist (z.B. x = 0,02 und y = 10000), könntest du in diesem Fall 500.001-mal x auf sich selbst addieren, damit das Ergebnis (10000,2) größer als y ist.
• Stell dir jetzt noch vor, wir können den Abstand zweier Elemente in unserem Körper messen und als reelle Zahl ausdrücken. Wir könnten zum Beispiel definieren, 0 und -42 haben den Abstand 1 oder -42 und Stuhl haben den Abstand 2. Unsere Abstandsfunktion nennen wir dann d, das heißt, d weist jeweils zwei Elementen aus K eine reelle Zahl als Abstand zu (wenn x und y zwei Elemente sind, so ist d(x,y) der Abstand zwischen beiden Elementen). An d haben wir drei Anforderungen, und zwar wollen wir, dass der Abstand zweier Punkte dann und nur dann gleich 0 ist, wenn die beiden gegebenen Punkte gleich sind (der Abstand von einem Element zu sich selbst soll also immer 0 sein, der Abstand zwischen zwei verschiedenen Punkten aber immer ungleich 0). Dann soll der Abstand zwischen zwei Punkten gleich bleiben, wenn man beide Punkte vertauscht (der Abstand zwischen 0 und 1 ist logischerweise derselbe wie der Abstand von 1 und 0). Die dritte interessantere Forderung ist die sogenannte Dreiecksungleichung; hier fordern wir, dass der Abstand zweier Punkte über einen dritten Umwegspunkt nie kürzer ist als der direkte Weg zwischen beiden Punkten. Als intuitiveres Beispiel ausgedrückt, wenn du zum Beispiel von dir zu Hause zur Schule gehen willst und noch einen Abstecher zum Bäcker machst, läufst du einen längeren Weg als wenn du direkt von deinem Haus zur Schule gehst. Sind diese drei Eigenschaften erfüllt, so nennen wir d eine Metrik.

Das waren jetzt drei Eigenschaften, die du schon mal kennen musst, um perfektoide Körper zu verstehen. In der Definition, die ich gefunden habe (http://de.arxiv.org/pdf/1303.5948v1), kommen noch ein paar mehr^^ wenn dich das interessiert, kann ich dir das mal aufschreiben, wenn ich Zeit habe

Du kannst natürlich so viele Zeilen und Spalten wegstreichen, wie du willst, es gibt aber nicht wirklich eine Konvention darüber, wie man das schreibt.

Ein euklidischer Vektorraum ist über IR definiert und es steht ein Skalarprodukt zur Verfügung (unitäre VR sind VR über C mit Skalarprodukt)

In der Schulmathematik eigentlich nur, wenn du in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis von Gegenkathete bzw. Ankathete und Hypotenuse haben willst (bzw. noch für den damit verbundenen Sinus- und Cosinussatz). Merk dir:

Sinus = Gegenkathete/Hypotenuse

Cosinus = Ankathete/Hypotenuse

Tangens = Sinus/Cosinus = Gegenkathete/Ankathete

das alles in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Ankathete ist dabei diejenige Kathete, die an dem Winkel liegt, von dem du den Sinus/Cosinus/Tangens berechnest, die Gegenkathete die jeweils andere Kathete.

Betrachte doch mal die Definition von Konvergenz. Es reicht zu prüfen, ob für endliche reelle (oder natürliche) Werte |a-a| = a-a = 0 erfüllt ist. Das ist offensichtlich der Fall, weshalb auch der Grenzwert null beträgt.

Alle Quotienten aus rationalen Zahlen sind rational. Beweis:

(a/b) / (c/d) = (bc)/(ad), was per Definition eine rationale Zahl ist

Quotienten aus irrationalen Zahlen sind reell, können aber auch rational sein.

Beweis:

Sei d eine irrationale Zahl. Dann ist d/d = 1 und 1 ist eine rationale Zahl. Fertig^^