Woher weiß man, wie der Graph bei gebrochenrationalen Funktionen verläuft?
Angenommen, man hat die Funktion (2x):(x^2-1) woher weiß man, wie der Graph verläuft, also ob er von oben, oder unten kommt? (Die Nullstellen und Asymptoten sind bekannt)
Vielen Dank für die Hilfe :)
2 Antworten
Dazu betrachtet man das Limit von f(x) für x -> -unendlich und x -> +unendlich.
lim (x->+unendlich) 2x / (x^2-1) = [ 2/x ] / [ 1 - 1/x^2 ] = 0
Dabei wird die 0 positiv tangiert, denn 2x / (x^2-1) > 0 für x > 1
Das Limit 0 gilt auch für lim (x->-unendlich), allerdings wird die 0 negativ tangiert, denn 2x / (x^2-1) < 0 für x < -1
2x/(x²-1) hat Definitionslücken bei 1 und -1
Setze 1+µ ein mit µ sehr klein (nahe bei 0), analog für -1+µ
2(1+µ)/((1+µ)²-1)=(2+2µ)/(µ²+2µ)=2/(µ²+2µ) + 2/(µ+1)
Für µ sehr klein und positiv geht der erste Teil nach plus unendlich und der zweite Teil nach 2, also verläuft der Graph rechts von 1 nach plus unendlich.
Für µ sehr klein und negativ geht der erste Teil nach minus unendlich und
der zweite Teil nach 2, also verläuft der Graph links von 1 nach minus
unendlich.
Im Prinzip genauso.
2x/(x²-1)=[2x/x²]/[(x²-1)/x²]=[2/x]/[1-1/x²]
Für große x geht der Zähler von oben gegen 0 und der Nenner gegen 1, also geht f(x) für x gegen plus unendlich gegen 0, und zwar von oben.
Für x gegen minus unendlich geht der Zähler von unten gegen 0 und der Nenner gegen 1, f(x) geht also von unten gegen 0.
Ich glaube wir haben nichts mit u gemacht, sondern mit lim x-> unendlich oder so, weißt du zufällig, wie das geht?