Wo ist der Unterschied zwischen der "Flächeninhaltsfunktion zur unteren Grenze 0 " und der "Stammfunktion "?

Hallo AltanaMaximus,

Vorsicht, das Integral gibt nicht zwangsläufig den Flächeninhalt an! Allerdings gibt es zwischen dem Integral mit unterer Grenze null und oberer Grenze x keinen Unterschied zur Stammfunktion. Die Stammfunktion ist (bis auf die Wahl einer Konstanten) ja gerade so definiert!

LG StormRider00

1.) "Stammfunktion" F  einer vorgegebenen Funktion f ist nie eindeutig bestimmt. Bekanntlich kann eine beliebige Konstante dazu addiert werden.

2.) Ferner:  Eine "Flächeninhaltsfunktion zur unteren Grenze 0 "  gibt es gar nicht unbedingt in jedem Fall, beispielsweise, wenn die 0 gar nicht zum Definitionsbereich von F gehört.

Deshalb wäre es falsch, die beiden angegebenen Begriffe als synonym zu behandeln.

Stammfunktionen gibt es viele:

(1.1) F[C](x) = F[0](x) + C

bzw.

(1.2) F[C] = F₀(x) + C

Die Konstante C entfällt bei der Ableitung aufgrund der Summenregel:

(2) F[C]'(x) = (F₀(x) + C)' = F₀'(x) + C'(x)

                   = F₀'(x) + 0 = F₀'(x) = f(x).

Die Flächeninhaltsfunktion A₀(x) ist eigentlich ein Integral über eine Meta-Variable t von 0 bis x:

(3) A₀(x) = ∫_[0]^{x}dt f(t) = F[C](x) – F[C](0)

               = (F₀(x)+C) – (F₀(0)+C) = F₀(x) – F₀(0),

also die von C unabhängige Differenz der Werte einer beliebigen Stammfunktion von f(t) an den Stellen t=0 und t=x - vorausgesetzt, f(t) ist eine nicht negative Funktion, sonst ist das, was herauskommt, nicht der Flächeninhalt bzw. man muss |f(t)| verwenden.