wie zeigt man Wohldefiniertheit? Mathe?

Verstehe leider fast garnicht was ich hier machen soll , kann mir das villeicht jemand erklären ? :)

Answer 1

[Willibergi]

Wohldefiniert bedeutet allgemein, dass eine Definition sinnvoll und nicht mehrdeutig ist. Was nun mit „sinnvoll und nicht mehrdeutig“ gemeint ist, muss man sich aber aus dem Kontext erschließen, indem man die Stellen in einer Definition findet, an denen eine gewisse Rechtfertigung notwendig ist.

Hier bedeutet wohldefiniert insbesondere, dass

$\psi(\phi(\Sigma^*)) \subseteq \text{Synt}(L)$

ist, d.h. dass die angegebene Zielmenge auch tatsächlich das Bild der Abbildung Psi enthält. Ansonsten wäre die Definition der Abbildung nicht sinnvoll.

Das wird das Wesentliche sein, was du zeigen sollst.

Man könnte man sich noch einen weiteren Punkt überlegen: In der Abbildungsvorschrift wird kein beliebiger Wert x aus der Definitionsmenge abgebildet, sondern es wird bereits vorausgesetzt, dass jeder Wert in der Definitionsmenge eindeutig als Ф(u) dargestellt werden kann.

Das erfordert eine Rechtfertigung: Warum existiert so eine Darstellung und warum ist sie eindeutig? Damit die Abbildung Psi also wohldefiniert ist, muss

$\forall s \in \phi(\Sigma^*) \, \exists! \, u \in \Sigma^*: s = \phi(u)$

gelten (was hier klar ist, weil der Definitionsbereich Ф(Σ*) ja genau das Bild von Σ* unter Ф ist).

Ich denke, allgemein kann man Wohldefiniertheit am besten verstehen, wenn man ein paar Beispiele sieht, die nicht wohldefiniert sind und sich überlegt warum:

$f: \mathbb R \to \mathbb R, \quad x \mapsto \frac 1x$

$g: \mathbb R \to \mathbb N, \quad x \mapsto x + 1$

$h: \mathbb Z / 12 \mathbb Z \to \mathbb Z / 12 \mathbb Z, \quad z \mapsto z^{-1}$

$i: \mathbb Q \mapsto \mathbb Z, \quad \frac pq \mapsto p$

$j: \mathbb R \to \mathbb R, \quad x \mapsto \begin{cases} y, & \exists y \in \mathbb R: xy = 0, \\ 42, & \text{sonst}. \end{cases}$

$k: (\mathbb R^{3 \times 2})^2 \to \mathbb R^{3 \times 2}, \quad (A,B) \mapsto A \cdot B$

$l: \mathbb R \to \mathbb R, \quad x \mapsto \begin{cases} 1, & x \in \mathbb N, \\ 2, & x \in \mathbb Z, \\ 3, & x \in \mathbb Q, \\ 4, & x \in \mathbb R, \\ 5, & x \in \mathbb C. \end{cases}$

$M := \{ \det A \mid A \text{ reelle Matrix} \}$

$N := \{ f^{-1}(y) \mid y \in \mathbb R \} \text{ für } f: \mathbb N \to \mathbb R, \quad n \to n^2$

$o := \dfrac{\prod_{n \in \mathbb N} \frac{1}{n}}{\prod_{n \in \mathbb N} \frac{1}{n}}$

Answer 2

[ulrich1919]

Ich hatte eine Antwort, doch im Nachhinein sehe ich dass Deine Frage sich auf den Beweisvorgang bezieht und darum ist meine Antwort unbrauchbar.

Ich nehme an (=ich vermute), dass Wohldefiniert in diesem Zusammenhang bedeutet, dass der Abbildungsvorgang ein-eindeutig ist; das heißt, dass in ,,beiden Richtingen" jedes Element der Abbildung einem Element der Vorlage entspricht..

Comments

[Willibergi]

Was du beschreibst, ist Bijektivität ;-)