Wie viele Atome wären das?

a) Ein Uranatom hat eine Masse von 4*10^-23 g und einen Durchmesser von 10^-10 m. Wie viele Atome enthält 1g Uran?

b) Wie schwer wäre ein Würfel von 1cm Kantenlänge, der dicht mit Uranatomen gefüllt ist?

Answer 1

[indiachinacook]

Frage a) ist lächerlich. Wenn ein Apfel ¹/₁₂ kg wiegt, wieviele Äpfel braucht man dann für einen Kilo? Offenbar 1 kg dividiert durch ¹/₁₂ kg, also zwölf. Die schwieri­ge­re Fra­ge ist es, warum die Masse des U-Atoms in der Angabe falsch angegeben ist. Die molare Masse beträgt 238.03 g/mol, und die atomare Masseneinheit beträgt 1.6605391⋅10⁻²⁷ kg = 1.6605391⋅10⁻²⁴ g, folglich sollte ein U-Atom 3.95⋅10⁻²² g wie­gen. Damit kommen 2.5⋅10²¹ Atome heraus, mit Deiner Gurkenmasse dagegen zehn­mal so viele.

Frage b) ist deutlich trickreicher. Spaßhalber zeige ich Dir, wie man es wirklich rech­net, und dazu nehme ich auch einen genaueren Wert für die Atomgröße, nämlich den Metall­radi­us, den Wikipeia mit r = 156 pm = 1.56 Å = 1.56⋅10⁻¹⁰ m angibt.

Eine naheliegende aber leider falsche Lösung (vermutlich die, die Dein Lehrer haben will), bestünde darin, daß man sich jetzt einen Würfel mit a=2r=3.12⋅10⁻¹⁰ m Kanten­län­ge vor­stellt. Dieser Würfel hat ein Volumen von V=a³=3.04⋅10⁻²⁹ m³ und bietet Platz für genau ein Atom. Seine Dichte ist also ρ=m/V=1.3⋅10⁻⁷ kg/m³ oder in zi­vi­le­ren Ein­hei­ten ρ=13 g/cm³ — und das ist auch schon die Antwort, ein Kubik­zenti­meter wiegt also 13 g.

Aber diese Rechnung setzt ein kubisch–primitives Gitter voraus, wie es in der Natur fast nie bei Metallen vorkommt. In der Praxis sind Metallatome immer wesentlich dich­ter gepackt, als diese Rechnung es annimmt. Wir müssen also in den sauren Ap­fel bei­ßen und die Kristallstruktur von Uran nachschlagen. Es kristallisiert in einer ortho­rhom­bi­schen Struktur, also einem Quader, mit den Abmessungen a=285 pm, b=586 pm und c=496 pm; ein solcher Quader enthält vier Atome. Das Volumen des Quaders ist V=abc=8.3⋅10⁻²⁹ m³, die Masse beträgt vier Atommassen also 1.58⋅10⁻²¹ kg, und die Dichte ist m/V=1.9045⋅10⁻⁷ kg/m³=19.1 g/cm³. Daher wiegt ein Kubik­zenti­meter U-Metall 19.1 g.

Comments

[willi55]

Prima! Manchmal sind Lehrer*innen und Lehrer*außen manchmal etwas naiv ...