Wie verhält sich der Binomialkoeffizient bei einer Summe für k -> unendlich?

sum(k=0 bis unendlich) (k+n+1) über k.

Answer 1

[mihisu]

Mir ist beim Schreiben meiner Antwort ein einfacherer Lösungsweg eingefallen, den ich nun zuerst beschreibe. Meinen ersten Lösungsweg habe ich trotzdem weiter unten aufgeschrieben.

======Lösungsweg======

Für alle n, k ∈ ℕ₀ mit k ≤ n gilt:

$\binom{n}{k}\ge1$

Dementsprechend erhält man für alle n, k ∈ ℕ₀:

$\binom{k+n+1}{k}\ge1$

Dementsprechend erhält man dann für alle n ∈ ℕ₀:

$\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+n+1}{k}\ge\sum_{k=0}^{\infty}1=\infty$

Die Reihe divergiert gegen ∞.

======Alternativer Lösungsweg======

Für alle m, n ∈ ℕ₀ gilt:

$\sum_{k=0}^m\binom{n+k}{k}=\binom{n+m+1}{m}=\binom{n+m+1}{n+1}$

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Summe_verschobener_Binomialkoeffizienten

Dementsprechend erhält man für alle m, n ∈ ℕ₀:

$\sum_{k=0}^m\binom{k+n+1}{k}=\sum_{k=0}^m\binom{\left(n+1\right)+k}{k}=\binom{\left(n+1\right)+m+1}{\left(n+1\right)+1}=\binom{n+2+m}{n+2}$

Was passiert nun für m → ∞?

$\binom{n+2+m}{n+2}=\frac{\left(n+2+m\right)!}{\left(n+2\right)!\cdot m!}$ $=\frac{\left(n+2+m\right)\cdot\left(n+1+m\right)\cdot...\cdot\left(1+m\right)\cdot m!}{\left(n+2\right)!\cdot m!}$ $=\frac{\left(n+2+m\right)\cdot\left(n+1+m\right)\cdot...\cdot\left(1+m\right)}{\left(n+2\right)\cdot\left(n+1\right)\cdot...\cdot1}$ $=\frac{n+2+m}{n+2}\cdot\frac{n+1+m}{n+1}\cdot...\cdot\frac{1+m}{1}$ $=\left(1+\frac{m}{n+2}\right)\cdot\left(1+\frac{m}{n+1}\right)\cdot...\cdot\left(1+m\right)$

Für m → ∞ divergiert jeder dieser n + 2 Faktoren offensichtlich gegen ∞, sodass auch das Produkt gegen ∞ divergiert. (Bzw. könnte man die ersten n + 1 Faktoren durch 1 abschätzen, sodass man also das Produkt nach unten durch 1 + m abschätzen kann, wobei dann 1 + m offensichtlich für m → ∞ gegen ∞ divergiert.)

Jedenfalls erhält man damit letztendlich...

$\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+n+1}{k}=\infty$

Comments

[Mathefragen63]

mir ist danach aufgefallen, dass es auch bei dieser Aufgabe wohl angebrachter wäre, das Cauchyprodukt zu nutzen, da mir das unendlich letzlich nicht hilft....

[Halbrecht]

wie kann etwas gegen plus unendlich divergieren ?

[mihisu]

@Halbrecht

Naja. Das nennt sich bestimmte Divergenz. Siehe beispielsweise:

• https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)#Bestimmte_Divergenz
• https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Bestimmte_Divergenz,_uneigentliche_Konvergenz#Definition

[Halbrecht]

@mihisu

aha , danke ..........gegen unend konvergieren ist wegen un keine Zahl nicht möglich.