Wie setze ich die Gleichungen f(x)=1/4x² und g(x)=x²-2x+1 mithilfe des Gleichsetzungsverfahren gleich?

Seien die Funktionen f und g gegeben durch

f(x) = 1 / (4x²)

g(x) = x² - 2x + 1

Es sollen die Schnittpunkte der Graphen von f und g berechnet werden. Dazu stellt man die Funktionsgleichungen gleich:

f(x) = g(x)

1 / (4x²) = x² - 2x + 1    | * x²

1/4 = x^4 - 2x³ + x²      | - 1/4

0 = x^4 - x³ + x² - 1/4

Ergebnisse (Näherungswerte):

x1 = 0.5751866400
x2 = 0.4125368186 + 0.9569276916 i
x3 = -0.4002602773
x4 = 0.4125368186 - 0.9569276916 i

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Wenn aber f(x) = ( 1 / 4 ) x² gemeint sein sollte, dann verfahre so:

f(x) = g(x)

1/4  x² = x² - 2x + 1     | * 4

x² = 4x² - 8x + 4          | - x²

0 = 3x² - 8x + 4           | :3

0 = x² - 8/3 x + 4/3

x1,2 = 4/3 +- Wurzel( 16/9 - 12/9 )

x1,2 = 4/3 +- Wurzel( 4/9 )

x1 = 4/3 + 2/3 = 2

x2 = 4/3 - 2/3 = 2/3

Setze anschließend x1 und x2 in f(x) oder g(x) ein, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu erhalten.

Gleichungen gleich setzen heisst nichts anderes als: f(x) = g(x). D.h.

(1/4) * x² = x² - 2x + 1, (I)

Im nächsten Schritt löst du (I) so auf, dass eine Seite der Gleichung null ist. Im letzten Schritt wendest du eine der beiden Lösungformeln für quadratische Gleichungen - Mitternachtsformel oder pq-Formel - an und erhältst je nach Determinante (D = b² - 4ac):

• keine Lösung in ℝ, wenn D < 0.
• genau eine Lösung in ℝ, wenn D = 0.
• genau zwei Lösungen in ℝ, wenn D > 0.

f(x) = g(x) ?